РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 505863 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Сложные задания на числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность задана формулой $a_n = 5b плюс 3n,$ где $n, b принадлежит N .$

а)  Может ли число 15 являться членом последовательности?

б)  Верно ли, что данная последовательность является бесконечной арифметической прогрессией?

в)  Может ли последовательность являться геометрической прогрессией?

г)  Могут ли три подряд идущих члена последовательности являться сторонами прямоугольного треугольника?

Решение. а)  Пусть $5b плюс 3n=15.$ Ясно, что $5b меньше 15 равносильно b меньше 3.$ Проверяя $b=1,b=2,$ получаем, что натуральных $b, n,$ удовлетворяющих равенству $5b плюс 3n$ не существует.

б)  Верно, так как $a_n плюс 1=5b плюс 3 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =a_n плюс 3.$ Значит, a_n – арифметическая прогрессия с разностью 3.

в)  Не может. Если эта последовательность является геометрической прогрессией, то выполняется равенство: $a_n в квадрате =a_n минус 1 умножить на a_n плюс 1,$ то есть $левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 5b плюс 3n минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5b плюс 3n плюс 3 правая круглая скобка .$ Раскроем скобки: $левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка в квадрате минус 9.$ Ясно, что это равенство невозможно. Противоречие.

г)  Не может. Ясно, что гипотенуза треугольника это бо́льший член последовательности. Тогда по теореме Пифагора получаем равенство: $левая круглая скобка 5b плюс 3n плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5b плюс 3n минус 3 правая круглая скобка в квадрате .$ Раскроем скобки:

$25b в квадрате плюс 9n в квадрате плюс 9 плюс 30bn плюс 30b плюс 18n=25b в квадрате плюс 30bn плюс$
$плюс 9n в квадрате плюс 25b в квадрате плюс 9n в квадрате плюс 9 плюс 30bn минус 3 минус 30b минус 18n.$ $25b в квадрате плюс 9n в квадрате плюс 9 плюс 30bn плюс 30b плюс$
$плюс 18n=25b в квадрате плюс 30bn плюс 9n в квадрате плюс 25b в квадрате плюс$
$плюс 9n в квадрате плюс 9 плюс 30bn минус 3 минус 30b минус 18n.$

После упрощений получим $60b плюс 36n=25b в квадрате плюс 30bn плюс 9n в квадрате$ или $12 левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка = левая круглая скобка 5b плюс 3n правая круглая скобка в квадрате .$ Последнее уравнение решений в натуральных числах не имеет.

Ответ: а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.

505863

а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505863	а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.