РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505858 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $3 в степени левая круглая скобка тангенс в квадрате 2x плюс корень из 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2 тангенс x, знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка =0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  При условии $косинус x ne 0,$ справедлива формула $дробь: числитель: 2 тангенс x, знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате x конец дроби = тангенс 2x:$

$3 в степени левая круглая скобка тангенс в квадрате 2x плюс корень из 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 2 тангенс x, знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка тангенс в квадрате 2x плюс корень из 3 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка тангенс 2x правая круглая скобка , косинус x не равно 0 равносильно тангенс в квадрате }2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка тангенс 2x равносильно$ $3 в степени левая круглая скобка тангенс в квадрате 2x плюс корень из 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 2 тангенс x, знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка тангенс в квадрате 2x плюс корень из 3 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка тангенс 2x правая круглая скобка , косинус x не равно 0 равносильно$
$равносильно тангенс в квадрате }2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка тангенс 2x равносильно$

$равносильно тангенс в квадрате }}2x минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка тангенс 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно совокупность выражений новая строка тангенс 2x=1, новая строка тангенс 2x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   Отбор корней произведем с помощью перебора целых значений $n.$ Заметим, что в нашем случае для обеих серий корней минимальным целым значением n будет 1. Каждое последующее значение корня получим, прибавляя к нему число $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Результаты занесем в таблицу:

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505858

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505858	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$