PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек (x; y), удовлетворяющих условию
будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением
Решение. Если какая-то точка 
подходит в систему и в уравнение кривой, то и точка 
тоже подходит. Поэтому для получения нечетного числа общих точек требуется, чтобы абсцисса одной из общих точек была равна нулю. Тогда это либо 
либо 
Случай 1. Это точка 
Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при 
других точек пересечения нет. Если же 
то получаем 
имеющее корни 
Итого три точки пересечения.
Случай 2. Это точка Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при подходят 
и это еще две точки пересечения.
Если же то получаем 
откуда 
Однако для них получаются те же точки пересечения, которые мы уже нашли.
Ответ: 
Примечание. Если решать задачу графически, то система задает равносторонний треугольник со стороной 4, а кривая представляет собой окружность с центром в центре этого треугольника и радиусом 
Устраивающие нас две ситуации соответствуют случаям вписанной и описанной окружности треугольника.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |