РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505834 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 80

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус x в квадрате конец дроби правая круглая скобка 2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби . конец системы$

Решение. Решим второе неравенство системы:

$дробь: числитель: 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 3 умножить на 2 плюс 2 в степени x , знаменатель: 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 2 в степени x , знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 6 плюс 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 в степени x минус 6, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: 2 в степени x минус 3, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно 1 меньше 2 в степени x \leqslant3 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 в степени x минус 6, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 в степени x минус 3, знаменатель: 2 в степени x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно 1 меньше 2 в степени x \leqslant3 равносильно$

$равносильно 2 в степени 0 меньше 2 в степени x \leqslant2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка равносильно 0 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3.$

Решения рассматриваемого неравенства: $левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка .$

Теперь решим первое неравенство системы на полученном множестве. Найдем ограничения на x, включая также решения второго неравенства системы:

$система выражений новая строка 0 меньше x меньше логарифм по основанию 2 3, новая строка 1 минус x в квадрате больше 0, новая строка 1 минус x в квадрате не равно 1, новая строка 2x в квадрате не равно 1 конец системы равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше логарифм по основанию 2 3, новая строка x в квадрате меньше 1, новая строка x не равно 0, новая строка x в квадрате не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше логарифм по основанию 2 3, новая строка минус 1 меньше x меньше 1, новая строка x не равно \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби конец системы равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1, новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби . конец системы равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби , новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби меньше x меньше 1. конец совокупности$

Неравенство запишем так: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка 2.$ Логарифмы приведём к основанию 2. Получим: $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$ Решим его на полученном множестве $x:$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1 минус x в квадрате минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на x в квадрате конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: 1 минус x в квадрате минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на x в квадрате конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , знаменатель: x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505834

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 80

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505834	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$