РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505828 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 79

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, новая строка 4 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка минус 8\leqslant2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка . конец системы$

Решение. Решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$

$система выражений новая строка 1 минус 3x больше 0, новая строка 1 минус 3x не равно 1 новая строка 12x минус 1 больше 0 конец системы равносильно система выражений новая строка x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка x не равно 0, новая строка x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби конец системы равносильно x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Для таких $x:$

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус 3x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно x левая круглая скобка 6x минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус 3x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 6x минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус 3x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 12x минус 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 6x минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

С учётом ограничений x получим множество решений рассматриваемого неравенства: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решим второе неравенство системы:

$4 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка минус 8\leqslant2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 6x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка минус 8 меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка меньше или равно 2 в квадрате равносильно$ $4 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка минус 8\leqslant2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 6x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка минус 8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка меньше или равно 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 3x в квадрате плюс x правая круглая скобка меньше или равно 2 в квадрате равносильно$

$равносильно 3x в квадрате плюс x минус 2\leqslant0 равносильно x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка минус 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка x минус 1 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби \leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ $равносильно 3x в квадрате плюс x минус 2\leqslant0 равносильно x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка минус 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка x минус 1 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби \leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ясно, что пересечение решений обоих неравенств системы есть множество $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505828

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 79

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505828	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$