РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505822 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 78

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка \geqslant1, новая строка 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка . конец системы$

Решение. Решим первое неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка \geqslant1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка \geqslant1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка \geqslant1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в кубе правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате правая круглая скобка \geqslant0.$

Ограничения на $x:$ $система выражений новая строка x меньше 0, новая строка x в квадрате не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби конец системы равносильно система выражений новая строка x меньше 0, новая строка x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби . конец системы$

Для таких x будем иметь:

$левая круглая скобка 8x в квадрате минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 4x в кубе минус 8x в квадрате правая круглая скобка \geqslant0 равносильно левая круглая скобка 8x в квадрате минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4x в кубе плюс 8x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 4x в квадрате умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно 4x в квадрате умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 2, новая строка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности$

Рассмотрим второе неравенство системы:

$3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3x в квадрате правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3x в квадрате правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 меньше или равно 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 меньше или равно 0 равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка 4x в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка \leqslant3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно минус 1 меньше или равно 2x в квадрате меньше или равно 1 равносильно x в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$ $равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка \leqslant3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant3 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно 2x в квадрате меньше или равно 1 равносильно x в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Очевидно, что решения исходной системы  — множество $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505822

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 78

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505822	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;0 правая круглая скобка .$