РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 505818 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 77

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $25x в степени 5 плюс 25 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x в кубе минус 4 левая круглая скобка a минус 7 правая круглая скобка x=0$ имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Заметим, что одним из корней является x  =  0, а также если число x является корнем уравнения, то и число $минус x$   — тоже.

Поэтому корни этого многочлена: $минус 2d,$ $минус d,$ 0, d, 2d, причем $d не равно 0.$ Тогда имеем

$левая фигурная скобка \beginaligned 25d в степени 4 плюс 25 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка d в квадрате минус 4 левая круглая скобка a минус 7 правая круглая скобка =0 400d в степени 4 плюс 100 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка d в квадрате минус 4 левая круглая скобка a минус 7 правая круглая скобка =0\endaligned.$

Отсюда

$375d в степени 4 плюс 75 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка d в квадрате =0, 5d в квадрате плюс a минус 1=0, a=1 минус 5d в квадрате .$

Подставим это выражение в первое уравнение системы.

$25d в степени 4 минус 125d в степени 4 минус 4 левая круглая скобка минус 5d в квадрате минус 6 правая круглая скобка =0,$

$25d в степени 4 минус 5d в квадрате минус 6=0,$

$левая круглая скобка 5d в квадрате минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5d в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =0,$

$d в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$

$a= минус 2.$

Ответ: a  =   −2 $левая круглая скобка корниуравнения \pm 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

505818

a  =   −2 $левая круглая скобка корниуравнения \pm 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 77

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505818	a  =   −2 $левая круглая скобка корниуравнения \pm 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента ,0 правая круглая скобка .$