РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505797 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 74

Классификатор стереометрии: Объем тела, Правильная треугольная призма, Цилиндр, Шар

Сложная стереометрия. Круглые тела

Правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ описана около шара радиуса 1. Пусть M  — середина ребра BB₁ и N  —  середина ребра СС₁. В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём этого цилиндра.

Решение. Обозначим за K середину ребра $AA_1.$

Заметим, что $AA_1=2R=2,$ а сечение плоскостью MNK  — равносторонний треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен 1, откуда его сторона равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Итак, $MN=BC=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Найдем теперь расстояние от центра шара (точки O) до плоскости AMN (это будет половина высоты цилиндра).

$d левая круглая скобка O,AMN правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_OAMN, знаменатель: S_AMN конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка A,OMN правая круглая скобка умножить на S_OMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_KMN, знаменатель: S_AMN конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MN умножить на d левая круглая скобка A,MN правая круглая скобка конец дроби .$ $d левая круглая скобка O,AMN правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_OAMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: d левая круглая скобка A,OMN правая круглая скобка умножить на S_OMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_KMN, знаменатель: S_AMN конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MN умножить на d левая круглая скобка A,MN правая круглая скобка конец дроби .$ $d левая круглая скобка O,AMN правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_OAMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: d левая круглая скобка A,OMN правая круглая скобка умножить на S_OMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_KMN, знаменатель: S_AMN конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MN умножить на d левая круглая скобка A,MN правая круглая скобка конец дроби .$

Очевидно, треугольник AMN  — равнобедренный, поэтому высота его совпадает с медианой и равна

$корень из: начало аргумента: AN в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби MN в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CN в квадрате минус 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 12 плюс 1 минус 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ $корень из: начало аргумента: AN в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби MN в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CN в квадрате минус 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 12 плюс 1 минус 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Итак, $d левая круглая скобка O,AMN правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Рассмотрим сечение шара радиуса 1 плоскостью, проходящей на расстоянии $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби$ от его центра. Она высекает круг радиуса $корень из: начало аргумента: 1 минус 0,1 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 0,9 конец аргумента .$

Тогда объем цилиндра равен $Пи умножить на 0,9 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

505797

$дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 74

Классификатор стереометрии: Объем тела, Правильная треугольная призма, Цилиндр, Шар

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505797	$дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$