В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каж­дое сле­ду­ю­щее число a_n стро­ит­ся из преды­ду­ще­го a_n – 1 по пра­ви­лу: если у числа n наи­боль­ший нечётный де­ли­тель имеет оста­ток 1 от де­ле­ния на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же оста­ток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. До­ка­жи­те, что в этой

по­сле­до­ва­тель­но­сти

а)  число 1 встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз;

б)  каж­дое на­ту­раль­ное число встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз.

(Вот пер­вые члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)