РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505767 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 69

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная пирамида

Сложная стереометрия. Круглые тела

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK : KD  =  1 : 2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно $дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$ Найти объём пирамиды.

Решение. Обозначим $AB=BC=AC=x,$ $AS=BS=CS=y.$ Тогда апофема пирамиды имеет длину $корень из: начало аргумента: y в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента ,$ а тогда высота пирамиды

$SD= синус 30 градусов корень из: начало аргумента: y в квадрате минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из: начало аргумента: 4y в квадрате минус x в квадрате конец аргумента .$

Заметим далее, что $AD= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби x= дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Запишем теперь теорему Пифагора для треугольника SDA. Получим $y в квадрате = дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4y в квадрате минус x в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби ,$ то есть $36y в квадрате =13x в квадрате ,$ $y= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента x, знаменатель: 6 конец дроби .$ Поэтому $SD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из: начало аргумента: 4y в квадрате минус x в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби .$

Ясно, что $d левая круглая скобка D,SA правая круглая скобка =3d левая круглая скобка K,SA правая круглая скобка = дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$ C другой стороны, посчитав площадь треугольника SAD двумя способами, мы получаем $дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента x, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$ откуда $x=12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Наконец, $V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби =216.$

Ответ: 216.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 216.

505767

216.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 69

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная пирамида

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505767	216.