РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505724 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 62

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $синус x умножить на левая круглая скобка 3 синус 2x умножить на синус в кубе x плюс 12 синус 2x умножить на синус x минус 16 косинус x правая круглая скобка плюс 2 синус 4x=0.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$синус x умножить на левая круглая скобка 3 синус 2x умножить на синус в кубе x плюс 12 синус 2x умножить на синус x минус 16 косинус x правая круглая скобка плюс 2 синус 4x=0 равносильно$

$равносильно 3 синус 2x умножить на синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 12 синус 2x умножить на синус в квадрате x минус 16 синус x умножить на косинус x плюс 4 синус 2x умножить на косинус 2x=0 равносильно$

$равносильно 3 синус 2x умножить на синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 12 синус 2x умножить на синус в квадрате x минус 8 синус 2x плюс 4 синус 2x умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно синус 2x умножить на левая круглая скобка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 12 синус в квадрате x минус 8 плюс 4 минус 8 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно синус 2x умножить на левая круглая скобка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 4 синус в квадрате x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно синус 2x умножить на левая круглая скобка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 12 синус в квадрате x минус 8 плюс 4 минус 8 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно синус 2x умножить на левая круглая скобка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 4 синус в квадрате x минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка синус 2x=0, новая строка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 4 синус в квадрате x минус 4=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z , новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 2\pm 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $равносильно совокупность выражений новая строка синус 2x=0, новая строка 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 4 синус в квадрате x минус 4=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 2\pm корень из: начало аргумента: 4 плюс 12 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z , новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 2\pm 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z , новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z , новая строка x=\pm арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Уравнение $синус в квадрате x= минус 2$ решений не имеет.

б)  Выборка корней. Очевидно, что искомыми корнями будут:

$x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_2= минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ; x_3=0;$ $x_4= арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $x_5= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_6= Пи минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $x_7= Пи .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ $\pm арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $0;$ $арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $Пи минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505724

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ $\pm арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $0;$ $арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $Пи минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 62

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505724	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ $\pm арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $0;$ $арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $Пи минус арксинус корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента ;$ $Пи .$