Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка 
Решение. Пусть 
тогда 
то есть 
Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде
Полученное неравенство имеет вид 
для 
Поскольку 
для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда 
откуда 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство 
то есть 
которое должно быть выполнено для всех х из отрезка Старший коэффициент квадратного трехчлена 
положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Введя замену 
получим неравенство 
Запишем это неравенство в виде 
Этим задача сведена к неравенству 
для возрастающей функции 
Таким образом, 
откуда 
Теперь заметим, что старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, а 
Тогда если 
то 
на всем отрезке Таким образом, 
откуда
Укажем иной путь.
Пусть тогда Преобразуем правую часть:
получаем
Если 
то 
Все такие числа t являются решениями, поскольку правая часть не меньше −2.
Если 
то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно.
Если 
то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно.
Если 
то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.
Если 
то в силу неравенства 
справедливого для положительных α, получаем:
а значит, правая часть меньше левой и неравенство не имеет решений.
Если 
то 
В этом случае решений нет, поскольку правая часть не больше 2.
Таким образом, искомыми являются значения 
Следовательно, 
и далее как ранее.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |