РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505694 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней

Методы алгебры: Домножение на сумму/разность выражений

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)   Решите уравнение $24 тангенс в квадрате x минус 9 синус в квадрате x=2.$

б)  Найдите сумму корней этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$24 тангенс в квадрате x минус 9 синус в квадрате x=2 равносильно дробь: числитель: 24 синус в квадрате x, знаменатель: 1 минус синус в квадрате x конец дроби минус 9 синус в квадрате x минус 2=0 равносильно$

$равносильно 24 синус в квадрате x минус 9 синус в квадрате x плюс 9 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус 2 плюс 2 синус в квадрате x=0 равносильно 9 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 17 синус в квадрате x минус 2=0 равносильно$ $равносильно 24 синус в квадрате x минус 9 синус в квадрате x плюс 9 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x минус 2 плюс 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно 9 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 17 синус в квадрате x минус 2=0 равносильно$

$равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm корень из: начало аргумента: 289 плюс 72 конец аргумента , знаменатель: 18 конец дроби равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm 19, знаменатель: 18 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка синус в квадрате x= минус 2 конец совокупности . равносильно синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$ $равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm корень из: начало аргумента: 289 плюс 72 конец аргумента , знаменатель: 18 конец дроби равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm 19, знаменатель: 18 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка синус в квадрате x= минус 2 конец совокупности . равносильно синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$ $равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm корень из: начало аргумента: 289 плюс 72 конец аргумента , знаменатель: 18 конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: минус 17\pm 19, знаменатель: 18 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка синус в квадрате x= минус 2 конец совокупности . равносильно синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$

$равносильно x=\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

Уравнение $синус в квадрате x= минус 2$ решений не имеет.

Умножение обеих частей уравнения на $1 минус синус в квадрате x$ к посторонним не привело, так как мы не получили корней вида $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборка корней. Ясно, что искомыми корнями будут следующие:

$x_1= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $x_2= Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $x_3=2 Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $x_4=2 Пи плюс арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

$x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4=6 Пи .$

Ответ: а) $\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $6 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $6 Пи .$

505694

а) $\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $6 Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57

Методы алгебры: Домножение на сумму/разность выражений

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505694	а) $\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $6 Пи .$