РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505676 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус 2x= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите все корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус 2x= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус 2x минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$ $2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус 2x= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус 2x минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0, новая строка косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Выборка корней. Из серии $2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 Пи n меньше или равно 2 Пи равносильно минус 3 меньше или равно 4n меньше или равно 4 равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 1 равносильно совокупность выражений новая строка n=1, новая строка n=0. конец совокупности .$

При $n=1$ $x_1=2 Пи ;$ при $n=0$ $x_2=0.$

Из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n меньше или равно 2 Пи равносильно минус 9 меньше или равно 1 плюс 6n меньше или равно 12 равносильно минус 10 меньше или равно 6n меньше или равно 11 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0, новая строка n=1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n меньше или равно 2 Пи равносильно минус 9 меньше или равно 1 плюс 6n меньше или равно 12 равносильно$
$равносильно минус 10 меньше или равно 6n меньше или равно 11 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0, новая строка n=1. конец совокупности .$

При $n= минус 1$ $x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус Пи = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=0$ $x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=1$ $x_5= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Из серии $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n меньше или равно 2 Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 1 плюс 6n меньше или равно 12 равносильно$
$равносильно минус 8 меньше или равно 6n меньше или равно 13 равносильно минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 13, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0, новая строка n=1, новая строка n=2. конец совокупности .$

При $n= минус 1$ $x_6= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус Пи = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=0$ $x_7= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=1$ $x_8= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ при $n=2$ $x_9= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505676

а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 2 Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505676	а) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 2 Пи .$