n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом
каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
а) При каких n это возможно, если 
б) При каких n и m это возможно?
Решение. Решим сразу пункт б).
Расположим m шоколадок одну за другой в одну линию и разрежем получившуюся шоколадную полосу равномерно на n равных частей. Будем считать, что длина шоколадки равна 
Каждый школьник должен получить порцию длины 
Если 
то длина порции будет не меньше Следовательно, по каждой шоколадке пройдёт не более одного разреза.
Пусть 
где d — делитель В этом случае длина порции равна 
При описанном способе раздела каждая шоколадка делится на части длины, кратной d, значит, расстояние от линии разреза до края шоколадки не меньше 
Два разреза, проходящие по одной шоколадке, вырезали бы из неё часть, не большую 
что меньше порции. Значит, каждая шоколадка окажется разрезанной не более одного раза.
Докажем, что других пар 
нет. Пусть 
и удалось разделить шоколадки с соблюдением условий. Докажем, что длины всех кусочков, а следовательно, и m кратны Пусть это не так. Рассмотрим кусок наименьшей длины r, не кратной Тогда есть кусок длины 
Тот, кто его получил, также получил кусок длины, не большей 
не кратный Противоречие. Значит, m кратно Теперь ясно, какой ответ в пунктах а) и б).
а) при n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18.
б) при 
или при 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |