РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505652 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $1 минус синус 2x= минус левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)   $1 минус синус 2x= минус левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 1 минус синус 2x плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.$

Пусть $синус x плюс косинус x=t.$ Тогда

$синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$
$равносильно 1 плюс синус 2x=t в квадрате равносильно синус 2x=t в квадрате минус 1.$ $синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$
$равносильно 1 плюс синус 2x=t в квадрате равносильно$
$равносильно синус 2x=t в квадрате минус 1.$

В таком случае заданное уравнение примет вид: $1 минус t в квадрате плюс 1 плюс t=0,$ решим данное уравнение:

$1 минус t в квадрате плюс 1 плюс t=0 равносильно t в квадрате минус t минус 2=0 равносильно совокупность выражений новая строка t= минус 1, новая строка t=2 конец совокупности .$ $1 минус t в квадрате плюс 1 плюс t=0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус t минус 2=0 равносильно совокупность выражений новая строка t= минус 1, новая строка t=2 конец совокупности .$

Теперь перейдем к переменной $x:$

$синус x плюс косинус x= минус 1 равносильно синус x плюс косинус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$ $синус x плюс косинус x= минус 1 равносильно$
$равносильно синус x плюс косинус x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$

$равносильно 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0, новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $равносильно 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0, новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Уравнение $синус x плюс косинус x=2$ решений не имеет. В противном случае синус и косинус одного и того же аргумента обязаны равняться единице, что невозможно.

б)   Отберём корни. Из серии $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно 2 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно 2 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно 2 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$

При $n= минус 1$ $x_1= Пи минус 2 Пи = минус Пи ;$ при $n=0 x_2= Пи .$

Из серии $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно n=0.$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно минус 2 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно n=0.$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно минус 1 плюс 4n меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно n=0.$

$x_3= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505652

а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505652	а) $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи .$