РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505646 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  

$4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =3 равносильно$ $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =3 равносильно$

$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус 3=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =1, новая строка 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка = минус 3 конец совокупности . равносильно 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно$ $равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус 3=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =1, новая строка 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус 2x=0 равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,n принадлежит Z .$ $равносильно косинус 2x=0 равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,n принадлежит Z .$ $равносильно косинус 2x=0 равносильно$
$равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,n принадлежит Z .$

Уравнение $2 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка = минус 3$ решений не имеет.

б)  Нетрудно заметить, что искомый корень единственный: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Очевидно, что $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 4 конец дроби =1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ