PDF-версии: 
i
В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.
поэтому середина высоты DE (точка P) лежит на поверхности шара и противоположна E. Плоскость, перпендикулярная DE, параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно, O совпадает с P.
поэтому 
то 
поэтому ответ 