РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д13 C3 № 505600 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42

Классификатор алгебры: Системы неравенств, Иррациональные неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Системы сложных неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства

Решите систему неравенств $система выражений новая строка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби , новая строка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 меньше 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка . конец системы .$

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы:

$дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби равносильно дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 1 минус 2x в кубе плюс 2 минус 4x в квадрате минус 4x минус 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 1 минус 2x в кубе плюс 2 минус 4x в квадрате минус 4x минус 4, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: минус 2x в кубе минус 3x в квадрате минус 4x минус 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в кубе плюс 2x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: минус 2x в кубе минус 3x в квадрате минус 4x минус 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в кубе плюс 2x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: минус 2x в кубе минус 3x в квадрате минус 4x минус 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в кубе плюс 2x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Заметим, что $2x в квадрате плюс x плюс 3 больше 0$ для любого $x принадлежит R левая круглая скобка D=1 минус 24 меньше 0 правая круглая скобка .$ Следовательно,

$дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: плюс 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 1, новая строка x больше 1. конец совокупности .$

Решения первого неравенства есть множество $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Решим второе неравенство системы. Заметим, что $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 1 конец дроби ,$ поскольку $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка =2 минус 1=1.$

Пусть $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка в степени x =t,t больше 0,$ тогда:

$t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби плюс 1 меньше 0 равносильно t в квадрате плюс t минус 2 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно t минус 1 меньше 0 равносильно t меньше 1.$ $t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби плюс 1 меньше 0 равносильно t в квадрате плюс t минус 2 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно t минус 1 меньше 0 равносильно t меньше 1.$

Следовательно, $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 1 равносильно x меньше 0.$ Решения второго неравенства  — множество $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка .$

Пересечением решений обоих неравенств будет множество $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3