РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 505565 Добавить в вариант

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.2 Рациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби =4 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус косинус x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что: $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка косинус правая круглая скобка в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x конец дроби =3 в степени левая круглая скобка косинус x минус 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x.$ Далее имеем:

$3 в степени левая круглая скобка косинус x минус 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x=1 равносильно$ $3 в степени левая круглая скобка косинус x минус 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x=1 равносильно$ $3 в степени левая круглая скобка косинус x минус 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x=4 в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 косинус правая круглая скобка в квадрате x минус косинус x=1 равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x=0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Решая двойное неравенство $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ для каждой из полученных серий корней находим, что заданному промежутку принадлежат числа $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ и только они.

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505565

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$