Тип 19 № 505497 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Решение. а) Пусть k — количество посетителей сайта, проголосовавших за футболиста, без учёта голоса Васи. Рейтинг футболиста равен 31, откуда получаем двойное неравенство на 
Из этого условия можно найти k, но для упрощения вычислений лучше найти, при каком k рейтинг футболиста будет равен 31, и убедиться, что при значениях k, на единицу меньших и на единицу больших, этот рейтинг отличается от 31. Воспользуемся данным способом.
Заметим, что рейтинг чуть меньше одной третьей, поэтому разумно предположить, что 
Поскольку 
при 
рейтинг футболиста действительно равен 31. Для k, равных 3 и 5, получаем соответственно значения рейтинга 23 и 38.
Найдём рейтинг футболиста с учётом Васиного голоса:
Следовательно, рейтинг футболиста станет равен 36.
б) Такая ситуация возможна, если за одного футболиста проголосовало 0,495 человек от общего числа посетителей сайта, а за второго — 0,505 посетителей сайта. Тогда рейтинг первого футболиста будет равен 50, второго — 51, суммарный рейтинг будет больше 100. Например, пусть общее число проголосовавших 20 000, за первого проголосовало 9900 человек, а за второго — 10 100. Тогда рейтинг первого футболиста 49,5 округляется до 50, а рейтинг второго — 50,5 округляется до 51.
в) Пусть количество проголосовавших за футболиста посетителей сайта с учётом голоса Васи равно k, а общее количество проголосовавших с учётом голоса Васи — 
Тогда получаем систему из двух двойных неравенств:
Запишем данную систему в виде системы четырёх неравенств:
Поскольку все числа в неравенствах целые, строгие неравенства можно заменять на нестрогие, вычитая из большего единицу. Используя первое и четвёртое неравенство, получаем:
Используя, что 
из последнего неравенства системы получаем:
Поскольку k — целое, то 
Тогда снова из первого неравенства системы получаем:
Следовательно, 
Покажем, что полученная оценка достигается. При 
и 
получим 
следовательно, рейтинг будет равен 9. Без Васиного голоса 
следовательно, рейтинг будет равен 7.
Таким образом, наибольшее число отданных за всех футболистов голосов при условиях, приведённых в задаче равно 82.
Ответ: а) 36; б) да; в) 82.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 36; б) да; в) 82.
505497
а) 36; б) да; в) 82.
PDF-версии: