PDF-версии: 
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что 
BAC + AKC = 90°.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если 
а 
Решение. а) Пусть
тогда 
и 
Треугольник BOC равнобедренный. Следовательно,
Следовательно, точки O, B, K и C лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник OBKC вписанный.
б) По условию поэтому 
Из теоремы синусов получаем соотношение для радиуса окружности, описанной около треугольника ABC. Таким образом,
Пусть R — радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC. В треугольнике OCK имеем:
Ответ: 25.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |