Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
а) Да, может. Числа 3, 4, 5, 6 (или 5, 6, 7) составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 18.
б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна 
Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию 
Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 39.
в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:
Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 222. Если 
то левая часть больше 222: 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
или 
Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 111 существуют: например, 36, 37, 38 и 16, 17, 18, 19, 20, 21.
Ответ: а) да; б) 39; в) 3; 6.