а)  Пусть   — се­ку­щая плос­кость и О  — центр шара. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара на плос­кость и обо­зна­чим через F ос­но­ва­ние этого пер­пен­ди­ку­ля­ра.

Пусть X  — про­из­воль­ная точка шара, при­над­ле­жа­щая плос­ко­сти По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Так как ОХ не боль­ше ра­ди­у­са R шара, то т. е. любая точка се­че­ния шара плос­ко­стью на­хо­дит­ся от точки F на рас­сто­я­нии, не боль­шем сле­до­ва­тель­но, она при­над­ле­жит шару. Это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F.

Об­рат­но: любая точка X этого круга при­над­ле­жит шару. А это зна­чит, что се­че­ние шара плос­ко­стью есть круг с цен­тром в точке F. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

б)  Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Рас­смот­рим се­че­ние, про­хо­дя­щее через общий центр шаров и цен­тры кру­гов.

Обо­зна­че­ние цен­тра, точки ка­са­ния и точек пе­ре­се­че­ния по­верх­но­стей шаров с плос­ко­стя­ми и дано на ри­сун­ке. FD  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии мень­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара плос­ко­стью

AB  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью тогда   — пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

CF  — ра­ди­ус круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии боль­ше­го шара плос­ко­стью Па­рал­лель­ные пря­мые AB и CF пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем: от­ку­да

Пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью

Ответ: 10.