Окружности радиусов 
и 
с центрами 
и 
соответственно касаются внутренним образом в точке 
и 
— параллельные радиусы этих окружностей, причём 
Найдите 
Решение. Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка
за точку 
Возможны два случая.
Первый случай. Точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой 
Через точку проведём прямую, параллельную Пусть A — точка её пересечения с радиусом 
В треугольнике 
известно, что
Треугольник AMN — равносторонний, следовательно, 
Второй случай. Точки M и N лежат по разные стороны от прямой 
Пусть A — точка её пересечения с продолжением радиуса
В треугольнике MAN известно, что
По теореме косинусов:
Следовательно, 
Ответ: 10 или 38.
Приведём другое решение.
Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка
за точку Возможны два случая.
Первый случай. Точки и лежат по одну сторону от прямой Опустим перпендикуляры 
и MK на прямую 
следовательно, четырёхугольник 
— трапеция. Откуда 
Из треугольника 
Поскольку 
и
— прямоугольник. Откуда 
и 
В треугольнике MNK 
По теореме Пифагора:
Второй случай. Точки
и лежат по разные стороны от прямой Опустим перпендикуляры и MK на продолжение прямой Аналогично первому случаю, получаем, что 
откуда 
Из треугольника NMK по теореме Пифагора:
Примечание. Приведём авторское решение, оно неверно, поскольку 
не является параллелограммом.
Точки 
и K лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай: точки M и N лежат по одну сторону от прямой 
(рис. 1). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L принадлежит радиусу ), следовательно, 
— параллелограмм: 
В треугольнике LMN имеем 
значит, треугольник LMN — правильный, откуда 
Второй случай: точки 
и N лежат по разные стороны от прямой (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L лежит на продолжении радиуса за точку ), следовательно, 
— параллелограмм: 
В треугольнике LMN имеем 
откуда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |