РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде $1292 = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3?$

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде $N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0,$ где числа $a_i$   — целые, $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3,$ ровно 130 способами?

Решение. Каждое число $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99$ однозначно представляется в виде $a_i=10b_i плюс c_i,$ где $0 меньше или равно b_i меньше или равно 9$ и $0 меньше или равно c_i меньше или равно 9 левая круглая скобка i=0; 1; 2; 3 правая круглая скобка .$ Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде $N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ имеет место единственное представление N в виде $N=10n плюс m,$ где $n=b_3 умножить на 10 в кубе плюс b_2 умножить на 10 в квадрате плюс b_1 умножить на 10 плюс b_0$ и $m=c_3 умножить на 10 в кубе плюс c_2 умножить на 10 в квадрате плюс c_1 умножить на 10 плюс c_0$   — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде $N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ равно числу способов записать число N в виде $N = 10n плюс m.$

а)  Для представления числа 1292 в виде $1292 = 10n плюс m$ в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом $m=1292 минус 10n$ определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.

б)  Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.

в)  Рассмотрим представление некоторого числа N в виде $N=10n плюс m,$ где n и m  — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде $m=10k плюс l,$ где l  — цифра единиц числа m, а k  — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

$N=10n плюс 10k плюс l равносильно N минус l=10 левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: N минус l, знаменатель: 10 конец дроби =n плюс k.$

Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами, в виде $K=n плюс k,$ где n  — некоторое целое число от 0 до 9999, а k  — некоторое целое число от 0 до 999.

Пусть для некоторого числа K представления $K=n_1 плюс k_1$ и $K=n_2 плюс k_2$ таковы, что $n_1$   — наименьшее возможное n, а $n_2$   — наибольшее возможное $n.$ Тогда $n_1=0$ или $k_1=K минус n_1=999,$ иначе бы было представление $K= левая круглая скобка n_1 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка .$ Аналогично $n_2=9999$ или $k_2=K минус n_2=0.$

Заметим, что для любого целого $n_0$ такого, что $n_1 меньше n_0 меньше n_2,$ имеется представление $K=n_0 плюс k_0,$ поскольку $0 меньше или равно n_1 меньше n_0 меньше n_2 меньше или равно 9999, 0 меньше или равно k_2 меньше k_0 меньше k_1 меньше или равно 999.$ Таким образом, количество представлений равно $n_2 минус n_1 плюс 1.$ Если $n_1 = 0; n_2=9999$ или $k_1=999, k_2=0,$ то представлений больше. Значит, или $n_1=0;n_2=129;k_2=0; K=129; N=1290 плюс l,$ или $n_2=9999; n_1=9870; k_1=999; K=10869; N=108690 плюс l,$ где l  — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.

Ответ: а)  130; б)  да; в)  20.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; ―  оба набора задуманных чисел в п. в.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	501734	а)  130; б)  да; в)  20.

Ключ