РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500817 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств $система выражений 4 в степени x меньше или равно 9 умножить на 2 в степени x плюс 22, \log_3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс \log_3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби . конец системы$

Решение. 1.  Неравенство $4 в степени x меньше или равно 9 умножить на 2 в степени x плюс 22$ запишем в виде $левая круглая скобка 2 в степени x правая круглая скобка в квадрате минус 9 умножить на 2 в степени x минус 22 меньше или равно 0.$ Относительно $t=2 в степени x$ неравенство имеет вид: $t в квадрате минус 9t минус 22 меньше или равно 0,$ откуда получаем $левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка меньше или равно 0, минус 2 меньше или равно t меньше или равно 11.$ Тогда $минус 2 меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 11,$ $x меньше или равно логарифм по основанию 2 11.$

2.  Второе неравенство системы определено на области, задаваемой системой неравенств

$система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0, дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 0, конец системы$

то есть при $x меньше минус 1$ и $x больше 2.$

При допустимых значениях переменной получаем:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс$
$плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби \leqslant1,$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 плюс$
$плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби , логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби \leqslant1,$

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 3, 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 3, 2 минус$
$минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: $2 меньше x меньше или равно 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Сравним $логарифм по основанию 2 11$ и $2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Так как $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше корень из: начало аргумента: 2,25 конец аргумента =1,5,$ то

$2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 3,5= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на 1,4 правая круглая скобка =$ $2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 3,5=$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 умножить на 1,4 правая круглая скобка =$

$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 11,2 правая круглая скобка больше логарифм по основанию 2 11,$

следовательно, $логарифм по основанию 2 11 меньше 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение системы неравенств: $левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

----------

Дублирует задание 501886.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ	3
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков	2
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

500817

$левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500817	$левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 11 правая квадратная скобка .$