PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение. а) Четырехугольник A1BCD1 — параллелограмм, все углы которого прямые, то есть прямоугольник, поэтому прямая A1C пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка BD1. Пусть точки P и L — проекции точек A1 и C соответственно на плоскость BED1. Следовательно, треугольники PA1O и LCO равны по гипотенузе и острому углу, значит,
б) Продлим прямую D1E за точку E и прямую DA за точку A до пересечения в точке K. Плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой KB.
Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда прямая AH — проекция прямой EH — перпендикулярна прямой KB по теореме о трех перпендикулярах. Угол EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Из условия известно, что 
тогда получаем:
Треугольники A1D1E и AKE подобны по трем углам, следовательно, 
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы. Таким образом, из прямоугольного треугольника AKB с прямым углом A получаем:
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A по определению тангенса находим:
откуда 
Ответ: 
Примечание.
Ответ может быть дан в другой форме: 
или 
Координатный способ решения мы продемонстрировали на примере аналогичной задачи 500367.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |