Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 4 № 283467

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение.

Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:

OOO,  OОР,   ОРО,   ОРР,   РОО,   РОР,  РРО,   РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна  дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 , то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

 

Ответ: 0,375.

 

Приведем другое решение.

Каждое бросание с равной вероятностью может дать орел или решку, поэтому для трех бросаний равновозможны 2 в степени 3 =8 различных вариантов. Орел выпадает ровно два раза в трех случаях: орел-решка-орел, решка-орел-орел, орел-орел-решка. Поэтому вероятность этого события  дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 .

 

Приведем решение, основанное на комбинаторных формулах.

Общее количество различных вариантов описывается формулой для размещений с повторениями: A_2 в степени 3 = 2 в степени 3 = 8. Количество способов получить ровно три орла дается перестановками с повторениями P(1, 2) = дробь, числитель — 3!, знаменатель — 1!2! = 3. Искомая вероятность равна отношению благоприятных случаев ко всем возможным:

 дробь, числитель — A_2 в степени 3 , знаменатель — P(1, 2) = дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 = 0,375.

 

Приведем решение, использующее теоремы о вероятностях.

Возможны три варианта: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = 0,375.

 

Формула Бернулли.

Вероятность выпадения монетки одной стороной и дважды — другой стороной равна 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Выбрать из этих «трех» сторон два орла можно С_3 в степени 2 =3 способами. Следовательно, искомая вероятность равна 0,375.

Примечание. Последнее рассуждение — не что иное, как вывод формулы Бернулли для нашего случая. В общем случае, если проводится n испытаний, в каждом из которых некоторое событие наступает в вероятностью p, то вероятность наступления этого события ровно k раз дается формулой C_n в степени k p в степени k (1 минус p) в степени n минус k .

 

 


Аналоги к заданию № 283467: 510333 283477 321051 321053 321055 321057 321059 501190 502069 502089 Все