Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не длины его сто­ро­ны. Сто­ро­ну квад­ра­та най­дем на ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 3: Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

До­ка­жем, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD дей­стви­тель­но яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Все сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с ка­те­та­ми 1 и 3, по­это­му

Диа­го­наль AC че­ты­рех­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 2 и 4, от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке ACD верны ра­вен­ства

тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, этот тре­уголь­ник  — пря­мо­уголь­ный.

Таким об­ра­зом, в че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD все сто­ро­ны равны и один из углов пря­мой. Такой че­ты­рех­уголь­ник  — квад­рат.