Все члены ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Каж­дый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо в 10 раз боль­ше, либо в 10 раз мень­ше преды­ду­ще­го. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3024.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из двух чле­нов?

б)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из трёх чле­нов?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)  Если по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из двух чле­нов, a и (в про­из­воль­ном по­ряд­ке), то Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. По­это­му по­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов.

б)  По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов: 252, 2520, 252.

в)  При­ведём при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти из 549 чле­нов: Сумма её чле­нов равна

До­пу­стим, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти более чем 549 чле­нов. Разобьём пер­вые 550 чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти на 275 пар со­сед­них чле­нов: пер­вый и вто­рой, тре­тий и четвёртый, пятый и ше­стой и т. д. Сумма двух чле­нов в каж­дой паре де­лит­ся на 11 и по­это­му не мень­ше 11. Зна­чит, сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти не мень­ше, чем По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  549.

При­мер 1.

При­мер 2.

На доске на­пи­са­но более 27, но менее 45 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −5, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 9, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −18.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 9, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 9. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 36 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 16.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз на­пи­са­но число 9, 18 раз на­пи­са­но число −18 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

Ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  36; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  16.

При­мер 1.

При­мер 2.