За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

а)  За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске. Дру­гой ва­ри­ант: 2, 2, 4.

б)  По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре  — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Число 9  — наи­мень­шее число в на­бо­ре  — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит

целой части част­но­го 52 и 9, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 мень­ше, чем сумма двух чисел 9, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11 = 22. Таким об­ра­зом, так как наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 9, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа  — это 11 и 11 или 22. Для за­ду­ман­ных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2 (или 2, 2, 4): б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

б)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Обо­зна­чим рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния, через A, а рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по новой си­сте­ме через B.

а)  За­ме­тим, что где m и n  — не­ко­то­рые на­ту­раль­ные числа. Зна­чит,

Если то что не­воз­мож­но. Таким об­ра­зом, раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам, не может рав­нять­ся

б)  На­при­мер, для оце­нок экс­пер­тов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния равна

в)  Пусть x  — наи­мень­шая из оце­нок, z  — наи­боль­шая, а y  — сумма осталь­ных пяти оце­нок. Тогда

Для оце­нок экс­пер­тов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 раз­ность равна Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, равно

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  

При­мер 5.

Все члены ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Каж­дый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо в 10 раз боль­ше, либо в 10 раз мень­ше преды­ду­ще­го. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3024.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из двух чле­нов?

б)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из трёх чле­нов?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)  Если по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из двух чле­нов, a и (в про­из­воль­ном по­ряд­ке), то Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах. По­это­му по­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из двух чле­нов.

б)  По­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять из трёх чле­нов: 252, 2520, 252.

в)  При­ведём при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти из 549 чле­нов: Сумма её чле­нов равна

До­пу­стим, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти более чем 549 чле­нов. Разобьём пер­вые 550 чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти на 275 пар со­сед­них чле­нов: пер­вый и вто­рой, тре­тий и четвёртый, пятый и ше­стой и т. д. Сумма двух чле­нов в каж­дой паре де­лит­ся на 11 и по­это­му не мень­ше 11. Зна­чит, сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти не мень­ше, чем По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  549.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

При­мер 4.

На доске на­пи­са­но более 27, но менее 45 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −5, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 9, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −18.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 9, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 9. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 36 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 16.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз на­пи­са­но число 9, 18 раз на­пи­са­но число −18 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

Ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  36; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  16.

При­мер 1.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 2.

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-⁠то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?

а)  Если груп­па со­сто­ит из 4 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 10 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков.

б)  Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 11 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 9 или мень­ше. Театр по­се­ти­ло не более 4 маль­чи­ков, по­сколь­ку если бы их было 5 или боль­ше, то доля маль­чи­ков в те­ат­ре была бы не мень­ше что боль­ше Ана­ло­гич­но, кино по­се­ти­ло не более 6 маль­чи­ков, по­сколь­ку но тогда хотя бы один маль­чик не по­се­тил ни те­ат­ра, ни кино, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 10 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе  — 10.

в)  Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик схо­дил и в театр, и в кино. Если бы вме­сто него в груп­пе при­сут­ство­ва­ло два маль­чи­ка, один из ко­то­рых по­се­тил толь­ко театр, а дру­гой  — толь­ко кино, то доля маль­чи­ков и в те­ат­ре, и в кино оста­лась бы преж­ней, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек в груп­пе можно счи­тать, что каж­дый маль­чик схо­дил или толь­ко в театр, или толь­ко в кино.

Пусть в груп­пе маль­чи­ков, по­се­тив­ших театр, маль­чи­ков, по­се­тив­ших кино, и d де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек в этой груп­пе. Будем счи­тать, что все де­воч­ки хо­ди­ли и в театр, и в кино, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля в те­ат­ре и в кино не умень­шит­ся.

Из усло­вия:

зна­чит, Тогда по­это­му доля де­во­чек в груп­пе:

Если груп­па со­сто­ит из 4 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 9 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в груп­пе равна

Ответ: а)  да; б)  10; в)

При­мер 1.

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 1 до 15 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пяти остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся  —

б)  Может ли эта раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся  —

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Обо­зна­чим рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния, через A, а рей­тинг ки­но­филь­ма, вы­чис­лен­ный по новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния, через B.

а)  За­ме­тим, что где m и n  — не­ко­то­рые на­ту­раль­ные числа.

Зна­чит, Если то что не­воз­мож­но.

Таким об­ра­зом, раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, не может рав­нять­ся

б)  На­при­мер, для оце­нок экс­пер­тов 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, равна

в)  Пусть x  — наи­мень­шая из оце­нок, z  — наи­боль­шая, а y  — сумма осталь­ных пяти оце­нок. Тогда

Для оце­нок экс­пер­тов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15 раз­ность A − B равна Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, равно

Ответ: а) нет; б) да; в)

При­мер 1.

При­мер 3.

а)  При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 14 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 210 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в)  Най­ди­те все четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­рых в 49 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

а)  Про­из­ве­де­ние цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз мень­ше.

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число n су­ще­ству­ет и a, b, c, d  — его цифры. За­ме­тим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их про­из­ве­де­ние было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  210(a + b + c + d). Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 35, по­это­му среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при пе­ре­ста­нов­ке ме­ста­ми цифр числа n ра­вен­ство abcd  =  210(a + b + c + d) остаётся вер­ным, то без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 со­от­вет­ствен­но. Тогда По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  Пред­по­ло­жим, что такое число n су­ще­ству­ет и a, b, c, d  — его цифры. Как и ранее, за­ме­тим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их про­из­ве­де­ние было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  49(a + b + c + d). Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 49, по­это­му среди цифр най­дут­ся две цифры 7. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти будем счи­тать, что c  =  d  =  7.

Тогда ab  =  a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как про­из­ве­де­ние двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, по­лу­ча­ем: пра­вая часть ра­вен­ства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая  — нечётна. Про­ти­во­ре­чие. Тогда хотя бы одно из чисел крат­но 2. Будем счи­тать, что на 2 де­лить­ся b.

Если b  =  2, то 2a  =  a + 16, что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то 4a  =  a + 18; a  =  6.

Если b  =  8, то 8a  =  a + 22; что не­воз­мож­но. Число n  =  4677 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр, удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи. Если b  =  6, то 6a  =  a + 20; a  =  4. Этот ва­ри­ант также по­лу­ча­ет­ся из пред­по­след­не­го пе­ре­ста­нов­кой цифр.

Ответ: а) на­при­мер, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр (всего 12 чисел).

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

В по­сле­до­ва­тель­но­сти a₁, a₂,..., a_n−1, a_n, со­сто­я­щей из целых чисел, a₁  =  1, a_n  =  235. Сумма любых двух со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3, 5 или 25.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из 1000 чле­нов?

в)  Из ка­ко­го наи­мень­ше­го числа чле­нов может со­сто­ять такая по­сле­до­ва­тель­ность?

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи (че­ре­ду­ют­ся суммы чисел 3 и 5).

б)  По­сколь­ку 3, 5 и 25  — нечётные числа, любые два со­сед­них члена по­сле­до­ва­тель­но­сти имеют раз­ную чётность. На нечётных ме­стах долж­ны сто­ять нечётные числа, а на чётных  — чётные. Число 235 нечётное, по­это­му оно не может сто­ять на чётном месте. Зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность не может со­сто­ять из 1000 чле­нов.

в)  Рас­смот­рим три члена по­сле­до­ва­тель­но­сти: a_k, a_k+1, a_k+2 (). По­сколь­ку a_k + a_k+1 ≥ 3, a_k+1 + a_k+2 ≤ 25, по­лу­ча­ем a_k+2 ≤ a_k+22. В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что по­сле­до­ва­тель­ность долж­на со­сто­ять из нечётного числа чле­нов.

Пусть n  =  2m + 1, тогда

от­ку­да m ≥ 11. Зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит не менее чем из 23 чисел.

При­ведём при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­вию за­да­чи, со­сто­я­щей из 23 чле­нов:

Ответ: а)  на­при­мер, 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235; б)  нет; в)  23.

При­мер 1

При­мер 2

При­мер 1

При­мер 2

При­мер 3

При­мер 4

При­мер 1

При­мер 2