Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.
Задание 484645
Задание 500135
Задание 500370
Задание 501988
Задание 505420
Задание 505538
Задание 507185
Задание 507186
Задание 507187
Задание 507188
Задание 507189
Задание 507190
Задание 513110
Задание 513111
Задание 559536
Задание 559538
Задание 559545
Задание № 484645
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
Преобразуем исходную систему:
Уравнение 
задает пару пересекающихся прямых 
и 
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой 
то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение 
задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и 
а) Прямая AB задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч
б) Прямая AC задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч
в) При 
прямая m пресечет и луч BD, и луч
г) Наконец, при 
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечет ни луч BD, ни луч
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 500135
Найдите все значения а при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
При 
все значения функции 
на промежутке отрицательны, а все значения функции 
— неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При 
функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
- нет корней при 
- один корень при 
и 
- два корня при 
и 
- три корня при 
Ответ:
Решим задачу графически.
При нет решений, так как левая часть неотрицательная, а правая часть меньше −1. Построим графики функций 
(только положительную часть) и 
Отметим, что 
— это прямые, проходящие через точку (0; −1).
Три решения это уравнение будет иметь, когда прямые 
будут лежать между прямыми m и n. Угловой коэффициент прямой n равен 
Для точек пересечения прямой m с ветвью гиперболы находим:
Для точки касания дискриминант 
должен быть равен нулю, откуда 
Таким образом, 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 500370
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение
Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, поскольку его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций 
имеют более двух точек пересечения на области x > 0.
Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку 
Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке 
графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.
Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.
Для прямой p:
Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:
Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:
Итак, касанию соответствует значение параметра 
При найденных значениях параметров прямая p пересекается с графиком функции 
в точках 
и 
а прямая m касается графика в точке 
Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В в силу того, что график выпукл вверх и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.
Таким образом, искомыми значениями параметра являются 
Ответ:
Приведём авторское решение.
Рассмотрим функции и 
Исследуем уравнение на промежутке 
При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2, при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
— нет корней при
— один корень при 
и 
— два корня при 
и 
— три корня при
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 501988
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень.
Решение
Запишем уравнение в виде 
Рассмотрим две функции:
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 3 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций 
и 
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная MC, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая MA, заданная уравнением 
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением проходит через точки и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505420
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение
Пусть 
тогда получим:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
При 
и 
и 
то есть при 
левая часть определена и принимает вид
При 
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для и принимает по одному разу все значения из промежутка 
для 
Значит, при выражение 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при и принимает по одному разу все значения из промежутка 
при Таким образом, уравнение имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
и 
При 
и 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
При других значениях параметра a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения 
и 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505538
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение 
на промежутке имеет более двух корней.
Решение
Рассмотрим функции и 
Исследуем уравнение на промежутке 
При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке
При функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 4, при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня и то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
— нет корней при 
— один корень при 
и 
— два корня при 
и 
— три корня при 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507185
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при 
представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
При 
график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях 
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507186
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507187
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507188
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507189
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной с абсциссой 
При график представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной с абсциссой Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507190
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
Решение
Если 
то уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиуса 2, а если 
то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
того же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра а уравнение 
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность 
имеет единственную общую точку с объединением окружностей 
и 
Из точки С проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью где лежит между C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Из точки С проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где лежит между C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как 
то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
Ответ: 11, 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513110
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
2) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на прямой 
поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках A и B, во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.
При 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m перпендикулярна прямой O1B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При a = 8 прямая m перпендикулярна прямой O2B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513111
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Решение
Решим первое уравнение:
Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.
Рассмотрим случай (2):
поэтому при 
корней нет, при 
получаем один корень 
при 
получаем два различных корня. У параболы 
— ветви вверх, абсцисса вершины равна 
Значит, оба корня не меньше −3 при 
то есть при 
а при 
один корень меньше −3, а другой — больше −3.
Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице
| a | a < −10 | −10 ≤ a < −3 | −3 ≤ a < 9,25 | a = 9,25 | a > 9,25 |
| Число решений (1) | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Число решений (2) | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда 
с учётом 
из 
получаем, что x = 4, a = −3.
Ответ: 
Примечание.
Для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559536
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Пример 3
и задача сведена к исследованию полученных корней при условии 
(есть только указание).Оцените это решение в баллах:
Пример 4
и/или 
.Оцените это решение в баллах:
Задание № 559538
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559545
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»