Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.
Задание 505536
Задание 505537
Задание 507204
Задание 507510
Задание 513103
Задание 513104
Задание 513105
Задание 559522
Задание 559524
Задание 559525
Задание № 505536
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.
Решение
а) Пусть 
Из рисунка видно, что площадь шестиугольника 
равна сумме площадей 
Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия 
его площадь 
Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда 
— медиана треугольника AB1C1. Заметим, что
то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна 
Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны 
Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна 
б) Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA1 равен
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
Аналогично 
а 
Пусть L — середина отрезка AB1. Поскольку A2 — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C1. Значит, 
Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому 
и 
Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен 
Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: 
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна 
Ответ: 21,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505537
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
Решение
Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Тогда 
Ответ: 125.
Приведём другое решение пункта а).
Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Приведём еще одно решение пункта а).
Треугольник 
— равнобедренный, 
Отрезок 
— высота треугольника 
отрезок — средняя линия треугольника ABC, тогда прямые 
и CB параллельны. Значит, прямые BC и AB перпендикулярны по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.
Приведём еще одно решение пункта а).
Поскольку 
точка 
— центр описанной окружности, а AC — ее диаметр. Тогда угол B прямой как опирающийся на диаметр.
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507204
Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
Решение
а) Площадь треугольника А1МВ2 в два раза меньше площади треугольника А1МВ, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины А1 у этих треугольников общая: 
Аналогично получаем еще 5 равенств:
Складывая эти равенства почленно, получаем 
б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.
Докажем, что квадрат медианы AA1 равен 
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку А1 отложим отрезок А1Р = AA1. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС = а и АР = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
Аналогично доказывается, что 
a 
Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника АВМ, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: 
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Ответ: 
----------
Дублирует задание 505536.
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507510
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
Решение
а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:
Аналогично получаем ещё 5 равенств:
и 
Складывая эти равенства почленно, получаем
б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.
Докажем, формулу для квадрата медианы
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 
откуда 
Аналогично доказывается, что 
а 
Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем 
Ответ:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513103
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.
Решение
а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому
Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.
б) Пусть точка O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM взаимно перпендикулярны. Прямые BK и AM также взаимно перпендикулярны. Таким образом, прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 5, поэтому OB = OM = 5x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Четырёхугольник BKMP — прямоугольник, поэтому получаем:
По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 25x2 = 144 + 16x2. Получаем, что x = 4. Поскольку прямые AD и MC параллельны, имеем:
Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,
Ответ: 30.
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513104
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 14.
Решение
а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому
Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.
б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 
поэтому OB = OM = 
Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,
По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 
Получаем, что 
Поскольку прямые AD и MC параллельны,
Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,
Ответ: 
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513105
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.
Решение
а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому
Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.
б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 4, поэтому OB = OM = 4x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,
По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 16x2 = 144 + 9x2. Получаем, что 
Поскольку прямые AD и MC параллельны,
Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,
Ответ: 
Пример 5.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559522
Решение
Пример 1
Замена угла 
углом 
возможна только при условии параллельности прямых 
и 
, а как раз это и требовалось доказать.Оцените это решение в баллах:
Пример 2
– это возможно только при параллельности прямых 
и Оцените это решение в баллах:
Пример 3
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559524
Решение
Пример 1
и 
, кроме того некорректно формулируется признак подобия треугольников. 
– вместо 
должно быть 
.Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Пример 3
– биссектриса», при этом тут же записаны утверждения, соответствующие медиане прямоугольного треугольника. Оцените это решение в баллах:
Задание № 559525
Решение
Пример 1
», при этом тут же записано утверждение, противоречащее условию, – «
(т.к. они опираются на одну дугу)», содержит неточность, так как точка H не лежит на окружности, а 
(т.к. они опираются на одну дугу). Решение пункта б отсутствует.Оцените это решение в баллах:
Пример 2
– трапеция. В решении есть некорректное утверждение – «По свойству трапеции, вписанной в окружность ее стороны равны», при этом рядом записано верное равенство боковых сторон. Решение пункта б отсутствует.Оцените это решение в баллах:
Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»