15-го ян­ва­ря был выдан по­лу­го­до­вой кре­дит на раз­ви­тие биз­не­са. В таб­ли­це пред­став­лен гра­фик его по­га­ше­ния.

В конце каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря, те­ку­щий долг уве­ли­чи­вал­ся на 5%, а вы­пла­ты по по­га­ше­нию кре­ди­та про­ис­хо­ди­ли в пер­вой по­ло­ви­не каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с фев­ра­ля. На сколь­ко про­цен­тов общая сумма вы­плат при таких усло­ви­ях боль­ше суммы са­мо­го кре­ди­та?

Не сни­жая общ­но­сти рас­суж­де­ний, при­мем на­чаль­ную сумму кре­ди­та за 100 руб. и будем счи­тать, что вы­пла­ты про­из­во­ди­лись 14 числа каж­до­го ме­ся­ца. Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат:

Таким об­ра­зом, пол­ная сумма вы­плат равна 15 + 14,5 + 14 + 13,5 +13 + 52,5  =  122,5 руб., пе­ре­пла­та со­ста­ви­ла 22,5%.

Ответ: 22,5.

При­мер 3.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 28 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 9 млн руб­лей?

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 80,5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  2, вы­плат  — 14 штук и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, но с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 80,5.

При­мер 4.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 9 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 1,5 млн руб­лей?

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  0,6, то есь всего будет 15 вы­плат и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 16,2 млн руб.

При­мер 5.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 17 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 3,4 млн руб­лей?

Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию, каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 26,35.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По усло­вию долг умень­ша­ет­ся по ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Пер­вая вы­пла­та равна

Вто­рая вы­пла­та равна

Тре­тья вы­пла­та равна

Чет­вер­тая вы­пла­та равна и так далее.

Зна­чит, наи­боль­шая вы­пла­та  — пер­вая, d  =  1,7, вы­плат  — 10 штук и они со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, но с раз­но­стью

Общая вы­пла­та равна

Ответ: 26,35.

При­мер 6.

При­мер 1.

При­мер 2.

При­мер 3.

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать одним пла­те­жом часть долга.

Если еже­год­но вы­пла­чи­вать по 58 564 руб­лей, то кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за 4 года, а если еже­год­но вы­пла­чи­вать по 106 964 руб­лей, то кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за 2 года. Най­ди­те r.

Пусть сумма кре­ди­та S еже­год­ные вы­пла­ты x, По усло­вию долг на июль ме­ня­ет­ся так:

Если долг вы­пла­чен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₂, то от­ку­да

Если долг вы­пла­чен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₄, то от­ку­да

Тогда

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 10.

При­мер 1

При­мер 2

При­мер 1

При­мер 2

При­мер 3

При­мер 4

При­мер 1

При­мер 2