Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.
Задание 484571
Задание 500816
Задание 505524
Задание 505534
Задание 505535
Задание 505548
Задание 505549
Задание 507592
Задание 513094
Задание 513095
Задание 513096
Задание 513097
Задание 513098
Задание 515920
Задание 559482
Задание 559484
Задание 559486
Задание № 484571
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка 
и вершину 
б) Найдите это расстояние.
Решение
а) Пусть M 
значит, 
Кроме того, 
следовательно, плоскость 
Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую 
кроме этого, 
(поскольку лежит в плоскости 
), следовательно, 
и является искомым расстоянием.
б) Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника 
с прямым углом N.
Поэтому
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Пример 5.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 500816
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна 
а) Докажите, что объем пирамиды 
вдвое больше объема пирамиды 
б) Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение
а) Пусть S − площадь основания призмы, а h - её высота. Тогда объем призмы равен Sh, а объем пирамиды 
равен 
Таким образом, объем пирамиды равен 
Что и требовалось доказать.
б) Обозначим H середину ребра 
Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник 
— равнобедренный, отрезки AH и 
перпендикулярны Следовательно, 
— линейный угол двугранного угла с гранями BCA и 
Из треугольника 
найдем 
В треугольнике AHB найдем высоту 
Из треугольника 
найдем: 
Искомый угол равен 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505524
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.
Решение
а) 
значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
Аналогично 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
б) Плоскость 
проходит через точку пересечения диагоналей квадрата 
Опустим перпендикуляр 
на плоскость 
Точка 
является точкой пересечения диагоналей квадрата 
Диагонали квадрата в 
раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому 
Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Найдём синус угла 
В плоскости BOD1 опустим перпендикуляр BH на прямую OD1. Заметим, что прямая AC перпендикулярна плоскости BOD1 и, следовательно, BH перпендикулярен прямой AC. Таким образом, BH перпендикулярен плоскости ACD1, а длина отрезка BH будет являться расстоянием от точки B до плоскости Рассмотрим четырёхугольник 
и 
следовательно, 
— прямоугольник, откуда 
Прямая HD1 — секущая при параллельных прямых BD и 
поэтому углы HOB и 
равны. Из прямоугольного треугольника OBH найдём
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505534
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и
Решение
а) Спроецируем вершину S на плоскость ABC. Получится точка O — центр правильного треугольника ABC. Значит, 
а тогда, по теореме о трех перпендикулярах
б) Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую 
Поэтому проекция точки M — точка 
— лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол 
— искомый.
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO поэтому 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505535
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
SC = 17.
а) Докажите, что
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение
а) Спроецируем вершину S на плоскость ABC. Получится точка O — центр правильного треугольника ABC. Значит, а тогда, по теореме о трех перпендикулярах
б) Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO поэтому Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника находим:
Из прямоугольного треугольника находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505548
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
а) Докажите, что
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и
Решение
а) Спроецируем вершину S на плоскость ABC. Получится точка O — центр правильного треугольника ABC. Значит, а тогда, по теореме о трех перпендикулярах
б) Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле 
Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO поэтому Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника находим:
Из прямоугольного треугольника находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505549
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна прямой 
б) Найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и ACD1.
Решение
а) Спроецируем прямую 
на плоскости 
и 
Получатся прямые 
и 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Аналогично, 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону треугольники 
и равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
По теореме косинусов из треугольника 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507592
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости 
и
параллельны.
б) Пусть известно еще, что параллелепипед прямоугольный, а кроме того AB = 6, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
Решение
а) Заметим, что прямые
и 
лежат в одной плоскости и не пересекаются, так как лежат еще и в параллельных плоскостях содержащих противоположные грани параллелепипеда. Следовательно, они параллельны. Из аналогичных соображений параллельны прямые BD и 
Но тогда, по признаку параллельности плоскостей, получаем параллельность и 
что и требовалось.
б) Вместо плоскости 
возьмем параллельную ей плоскость 
Пусть E — середина 
Значит, угол 
— линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника 
находим
Ответ: 
Пример 5.
Оцените это решение в баллах:
Пример 6.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513094
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Решение
а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть 
Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F1 является ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь, отрезок 
тогда 
В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как 
или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.
б) Найдем высоту искомой пирамиды 
Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:
Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок 
отрезок 
(поскольку это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции 
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:
Площадь трапеции (основания пирамиды) равна
Объем пирамиды найдем по формуле
Ответ: б) 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513095
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 
Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Решение
а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN (очевидно, их общую середину) и — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку 
и 
то 
— средняя линия треугольника SOL, поэтому
откуда 
Осталось заметить, что это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.
б) Проведем через прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и BC за и 
соответственно. Тогда 
— искомое сечение, причем 
поэтому это трапеция.
Ее основания равны 
и 
а высота
Значит 
Ответ: 12.
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513096
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Решение
Сечение (плоскость α) проходит через точки M и N, причем MN — средняя линия. Это означает, что отрезок MN || AB следовательно, MN || (ABC). По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем PQ || MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO — высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2 : 1, то есть
Точка K является серединой отрезка MN, причем KZ ⊥ CE, откуда следует, что KZ || SO, следовательно, ZE = ZO. Так как 
то
Таким образом, получаем, что CZ : ZE = 5 : 1.
б) Найдем периметр трапеции MNPQ: P = MN + NQ + PQ + MP, где
Для вычисления сторон MP = NQ, найдем высоту
Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (смотри рисунок).)Катет NH = KZ = 1, а катет HQ равен
Получаем значение периметра
Ответ: 
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513097
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и 
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Решение
а) Заметим, что 
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку сторона BC перпендикулярна плоскости ASB, так как стороны SA и BC, AB и BC перпендикулярны. Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Вычислим ее:
Ответ: 
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Пример 6.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 513098
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение
а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны 
и 
Значения этих сторон удовлетворяют равенству 
следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами 
Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству 
то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Из п а) 
Кроме того, 
следовательно, 
Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен
Ответ: 30°.
Примечание.
Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.
Примечание 2.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 637818.
Пример 5.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 515920
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение
В треугольнике SAB имеем: 
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства 
получаем, что 
Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.
б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда BE = DC = AB и DB = CE. Найдём угол SCE. По теореме Пифагора: 
и 
По теореме косинусов:
Искомый угол равен 
Ответ: б)
Пример 1.
начинается с «пусть В». К счастью, ниже «Равенство выполнятся, значит...» позволяет считать, что по существу доказательство идёт в верном порядке. Хотя, ещё чуть-чуть и следовало бы не засчитывать п. а)Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
и нет никаких шансов как-то по иному проинтерпретировать текст.Оцените это решение в баллах:
Задание № 559482
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Оцените это решение в баллах:
Пример 3
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559484
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Пример 3
Оцените это решение в баллах:
Задание № 559486
Решение
Пример 1
Оцените это решение в баллах:
Пример 2
Оцените это решение в баллах:
Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»