Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте , точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы. Площадь сферы

Ответ:

Укажем другой путь нахождения радиуса.

Объем пирамиды равен

Площадь полной поверхности пирамиды равна

Тогда

Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду AB = 4, — треугольник ASB.

В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где O — центр основания конуса, OA = OB = 6, SO = 8, откуда

Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок OH — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и OH перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости ASB равно высоте OM прямоугольного треугольника SOH, проведённой к гипотенузе:

Ответ:

Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду — треугольник ASB.

В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда

Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и ОН перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе:

Ответ:

Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда

Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота

Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ: