Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте , точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы. Площадь сферы

Ответ:

Укажем другой путь нахождения радиуса.

Объем пирамиды равен

Площадь полной поверхности пирамиды равна

Тогда

Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, со­дер­жа­щей его вер­ши­ну S и хорду AB = 4, — тре­уголь­ник ASB.

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках SOA и SOB, где O — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, OA = OB = 6, SO = 8, от­ку­да

Пусть SH — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB, Тогда от­ре­зок OH — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB,

Пря­мые SH и OH пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, по­это­му плос­кость SOH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASB. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ASB равно вы­со­те OM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе:

Ответ:

Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду — треугольник ASB.

В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда

Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и ОН перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе:

Ответ:

Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда

Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота

Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откуда

Треугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO₁, — прямоугольник ABB₁A₁ (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA₁ = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда

Площадь прямоугольника ABB₁A₁

Ответ: 80.

Пусть — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, — се­ре­ди­на хорды Дуга со­став­ля­ет ше­стую часть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му Тре­уголь­ник — равноcто­ро­ний, сле­до­ва­тель­но,

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок — его вы­со­та

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния

Ответ:

Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA — радиус шара, тогда S₁ = π · OA² — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S₂ = π · BC² — площадь сечения шара второй плоскостью.

Из отношения площадей сечений получаем: OB — расстояние между плоскостями, равное 2.

В прямоугольном треугольнике OBC: OC² = BC² + OB², откуда получаем:

Ответ: 5.