Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте , точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы. Площадь сферы

Ответ:

Укажем другой путь нахождения радиуса.

Объем пирамиды равен

Площадь полной поверхности пирамиды равна

Тогда

Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник прямоугольный, откуда

Треугольник равносторонний, следовательно, В треугольнике высота

В правильном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду AB = 4, — треугольник ASB.

В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где O — центр основания конуса, OA = OB = 6, SO = 8, откуда

Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок OH — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и OH перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости ASB равно высоте OM прямоугольного треугольника SOH, проведённой к гипотенузе:

Ответ:

Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду — треугольник ASB.

В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда

Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB,

Прямые SH и ОН перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе:

Ответ:

Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда

Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота

Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откуда

Треугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO₁, — прямоугольник ABB₁A₁ (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA₁ = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда

Площадь прямоугольника ABB₁A₁

Ответ: 80.

Пусть — центр основания конуса, — середина хорды Дуга составляет шестую часть окружности основания, поэтому Треугольник — равноcтороний, следовательно,

Равнобедренный треугольник — искомое сечение. Отрезок — его высота

Площадь искомого сечения

Ответ:

Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA — радиус шара, тогда S₁ = π · OA² — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S₂ = π · BC² — площадь сечения шара второй плоскостью.

Из отношения площадей сечений получаем: OB — расстояние между плоскостями, равное 2.

В прямоугольном треугольнике OBC: OC² = BC² + OB², откуда получаем:

Ответ: 5.

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной равно Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и — середины хорд, B — проекция на другое основание цилиндра. Тогда поэтому следует выбирать знак , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно и тоже. Поэтому

Ответ: б)