Отрезок параллелен (точка принадлежит ребру ). Плоскость сечения пересекает плоскость по прямой параллельной следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис. 1).

Треугольники и равны, следовательно,

Значит,  — ромб со стороной и диагональю (рис. 2). Тогда диагональ

Ответ:

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна Пусть SM — высота грани SAB. Тогда поэтому SM = 9. Пусть SH — высота пирамиды. Имеем

Тогда

Ответ: 36.

Нужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и Значит,

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение откуда AB = 10.

Изобразим указанное в условии сечение — треугольник SKM;

Проведём в треугольнике SKM высоту SP. Точка P — середина KM.

Значит,

Из треугольника SKA находим

Из треугольника SPK

Тогда

Ответ:

Пусть F и G — середины рёбер AB и BC соответственно. Отрезки FK и GL параллельны MB, где точки K и L — середины рёбер MA и MC соответственно. Поскольку искомое сечение — параллелограмм FGLK.

Пусть MH — высота и медиана треугольника MAC, BH — медиана и высота треугольника ABC, значит, прямая AC перпендикулярна плоскости MBH и AC перпендикулярна прямой MB, лежащей в этой плоскости. Отрезок FK параллелен MB, отрезок FG параллелен AC, следовательно, FGLK — прямоугольник.

Пусть MO — высота пирамиды, тогда MO = 9, MB = 15, откуда OB = 12. В правильном треугольнике ABC, где O — его центр,

В прямоугольнике FGLK

Ответ: