Отрезок параллелен (точка принадлежит ребру ). Плоскость сечения пересекает плоскость по прямой параллельной следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис. 1).

Треугольники и равны, следовательно,

Значит,  — ромб со стороной и диагональю (рис. 2). Тогда диагональ

Ответ:

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна Пусть SM — высота грани SAB. Тогда поэтому SM = 9. Пусть SH — высота пирамиды. Имеем

Тогда

Ответ: 36.

Нужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и Значит,

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение откуда AB = 10.

Изобразим указанное в условии сечение — треугольник SKM;

Проведём в треугольнике SKM высоту SP. Точка P — середина KM.

Значит,

Из треугольника SKA находим

Из треугольника SPK

Тогда

Ответ:

Пусть F и G — середины рёбер AB и BC соответственно. Отрезки FK и GL параллельны MB, где точки K и L — середины рёбер MA и MC соответственно. Поскольку искомое сечение — параллелограмм FGLK.

Пусть MH — высота и медиана треугольника MAC, BH — медиана и высота треугольника ABC, значит, прямая AC перпендикулярна плоскости MBH и AC перпендикулярна прямой MB, лежащей в этой плоскости. Отрезок FK параллелен MB, отрезок FG параллелен AC, следовательно, FGLK — прямоугольник.

Пусть MO — высота пирамиды, тогда MO = 9, MB = 15, откуда OB = 12. В правильном треугольнике ABC, где O — его центр,

В прямоугольнике FGLK

Ответ:

Пусть F и G — середины рёбер BC и AC соответственно. Отрезки FK и GL параллельны MC, где точки K и L — середины рёбер MB и MA соответственно. Поскольку искомое сечение — параллелограмм FGLK.

Пусть MH — высота и медиана треугольника MAB, CH — медиана и высота треугольника ABC, тогда плоскость MHC перпендикулярна плоскости ABC, значит, прямая MC перпендикулярна прямой AB, следовательно, FGLK — прямоугольник.

Пусть MO — высота пирамиды, тогда MO = 6, MC = 9, откуда В правильном треугольнике ABC, где O — его центр,

В прямоугольнике FGLK

Ответ:

Решение 1:

а) Обозначим середины ребер SA и SE за M и N соответственно. Прямая MN || AE, как средняя линия, и, следовательно, параллельна плоскости основания пирамиды. Это означает, что плоскость сечения пересекается с плоскостью основания по прямой a параллельной MN и проходящей через точку C. Пусть прямая AB пересекается с прямойa в точке P. Тогда точка P является одновременно точкой сечения и плоскости SAB. Пусть прямая MP пересекает ребро SB в точке K. Требуется доказать, что SK : KB = 3 : 1. Рассмотрим плоскость SAB, в соответствующем треугольнике проведем среднюю линию MM' || AB. Заметим теперь, что из свойств правильного шестиугольника отрезок Таким образом, треугольники MM'K и PBK равны, следовательно, Значит, SK : KB = 3 : 1.

б) Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SCF. Так как боковое ребро пирамиды вдвое больше ребра основания треугольник SCF — равносторонний. Пусть RT — его средняя линия параллельна плоскости основания пирамиды, как и MN, значит, они пересекаются. Назовем точку их пересечения W. Точка W — точка пересечения RT и плоскости сечения пирамиды. Значит, сечение пирамиды и плоскостьSCF пересекаются по прямой CW. Точку пересечения этой прямой с ребром SF назовем G. Таким образом требуется найти SG : GF. Точка R — середина SF, значит, R', ее проекция на FC, — середина FO, где O — центр основания. Эта же точка является точкой пересечения AE и FC. Так как MN — средняя линия треугольника SAE, то W' — проекция точки W на FC является серединой R'O. Таким образом, Треугольники GRW и GFC — подобны с коэффициентом Значит

Следовательно, учитывая, что R — середина SF,

Ответ: 3 : 4

Решение 2:

а) Обозначим середины ребер SA и SE за и соответственно. Тогда MN || AE || BD. Проведем через точку C прямую, параллельную AE (она будет лежать в плоскости сечения), тогда она пересечет AB в точке Р, причем по свойствам шестиугольника AB = 2BP. Пусть теперь K точка пересечения прямой MР с SB.

По теореме Менелая для треугольника ASB и прямой MKР имеем откуда

то есть SK : KB = 3 : 1.

б) Опустим из S перпендикуляр на AE. Он упадет в середину AE — точку R'. По свойствам шестиугольника CR' : R'F = 3 : 1. При этом отрезок MN пересекает SR' в его середине W.

Пусть CW пересекает SF в точке G, это и есть точка пересечения плоскости сечения с ребром CF.

По теореме Менелая для треугольника FSR' и прямой GWC имеем откуда

то есть SG : GF = 3 : 4.

Ответ: 3 : 4.

Сечение плоскостью пересекает ребро в точке Отрезок параллелен отрезок параллелен Следовательно, искомое сечение — параллелограмм (рис. 1). Далее имеем:

Значит, — ромб. Найдем его диагонали:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

Ответ:

Прямая пересекает прямую в точке Прямая пересекает ребро в его середине — точке  — сечение куба плоскостью

Равнобедренный треугольник подобен треугольнику и высота

Поскольку  — средняя линия треугольника получаем:

Ответ: 4,5.

Прямая пересекает прямую в точке Прямая пересекает ребро в его середине — точке  — сечение куба плоскостью

В равнобедренном треугольнике имеем и высота

Поскольку  — средняя линия треугольника получаем:

Ответ:

Обозначим через и средины ребер и соответственно.

По Теореме о средней линии треугольника так что прямые и лежат в одной плоскости. Искомое сечение — это равнобедренная трапеция

Основания трапеции по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

Проведем в трапеции высоту Отрезок равен полуразности оснований трапеции:

Следовательно, высота трапеции Зная её, находим площадь трапеции:

Ответ:

Обозначим через и средины ребер и соответственно.

По теореме о средней линии треугольника так что прямые и лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию

Основания трапеции по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

Проведем в трапеции высоту Отрезок равен полуразности оснований трапеции:

Следовательно, высота трапеции Зная её, находим площадь трапеции:

Ответ:

Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP:РО = 2 : 1, где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC), откуда

Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно,

Ответ:

Пусть точка — середина ребра Отрезок пересекает плоскость в точке В треугольнике точка является точкой пересечения медиан, следовательно, где — центр основания пирамиды. Отрезок параллелен и проходит через точку (точка принадлежит ребру — ребру ), откуда

Четырёхугольник — искомое сечение. Отрезок — медиана треугольника значит,

Поскольку прямая перпендикулярна плоскости диагонали и четырёхугольника перпендикулярны, следовательно,

Ответ:

Отрезок параллелен диагонали (точка принадлежит ребру ), следовательно, искомое сечение — трапеция (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание no прямой параллельной значит, параллелен

Треугольники и подобны, следовательно,

В равных прямоугольных треугольниках и

Пусть — высота трапеции проведённая к основанию (рис. 2), тогда:

Ответ:

Пусть — точка, в которой плоскость сечения пересекает ребро Так как плоскости и параллельны, то плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым, следовательно, отрезок параллелен диагонали Искомое сечение — трапеция (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой параллельной значит, параллельно

Треугольники LC₁K и D₁C₁B₁ подобны, следовательно,

Значит,

В равных прямоугольных треугольниках и имеем значит, трапеция равнобедренная.

Пусть — высота трапеции проведённая к основанию (рис. 2), тогда:

Ответ:

В треугольнике BCS проведём высоту BK, тогда искомое сечение — треугольник ABK . Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём

равен объёму пирамиды.

Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Ответ:

Примечание Дмитрия Гущина.

По сути, решение основано на вычислении объема двумя способами: и

В треугольнике BCS проведём высоту BK, тогда искомое сечение — треугольник ABK. Пусть Q — площадь треугольника ABK. Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём

равен объёму пирамиды.

Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Ответ: 

Пусть — центр основания пирамиды. В треугольнике имеем:

Значит, отрезок делит медиану, проведённую из вершины в отношении то есть содержит точку Кроме того, — середина

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём Опустим из точки перпендикуляр на сторону Тогда

Значит,

Равнобедренный треугольник — искомое сечение, а — его высота. Площадь искомого сечения

Ответ:

Приведём другое решение.

Рассмотрим боковую грань пирамиды — равнобедренный треугольник AMB. Заметим, что поэтому по теореме косинусов для треугольника LAE имеем: Тогда для искомой площади равнобедренного треугольника ELD получаем:

Пусть — центр основания пирамиды. В треугольнике имеем:

Значит, отрезок делит медиану, проведённую из вершины в отношении то есть содержит точку Кроме того, — середина

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нём Опустим из точки перпендикуляр на сторону Тогда

Значит,

Равнобедренный треугольник — искомое сечение, а — его высота. Площадь искомого сечения равна

Ответ:

Приведём решение Ольги Абалымовой.

Найдём DE. Треугольник ADE подобен треугольнику ABC, так как ∠AED = ∠ABC, а угол A общий. Следовательно,

Найдём LE. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику AMB:

Применим теорему косинусов к треугольнику ALE:

Рассмотрим треугольник LEH: LH — его медиана и высота, следовательно, этот треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора получаем:

Найдём площадь треугольника LED:

Ответ:

Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями и дано на рисунке.

— радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью тогда — площадь сечения меньшего шара плоскостью

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью тогда — площадь сечения большего шара плоскостью

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью

Параллельные прямые и перпендикулярны прямой Из прямоугольных треугольников получаем:

Площадь сечения большего шара плоскостью

Ответ: 13.

Решение.

Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.

Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями и дано на рисунке. — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью тогда — площадь сечения меньшего шара плоскостью

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью тогда — площадь сечения большего шара плоскостью

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью Параллельные прямые и перпендикулярны прямой Из прямоугольных треугольников получаем: откуда

Площадь сечения большего шара плоскостью

Ответ: 10.

Пусть O — центр основания конуса, M — середина хорды AB. Дуга AB составляет четверть окружности основания, поэтому AOB = 90°. Треугольник AOB равнобедренный, следовательно,

Равнобедренный треугольник APB — искомое сечение. Отрезок PM — его высота,

Площадь искомого сечения равна

Ответ:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общую сторону и равные стороны и следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, Рассмотрим треугольник воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

В треугольнике следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол равен 60°, значит, Следовательно, треугольник — равносторонний,

Опустим высоту в равнобедренном треугольнике на основание Найдём

Треугольник — искомое сечение, найдём его площадь:

Ответ:

Примечание.

Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общую сторону и равные стороны и следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, Рассмотрим треугольник воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

В треугольнике следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол равен 60°, значит, Следовательно, треугольник — равносторонний,

Найдём косинус угла

Следовательно,

Треугольник — искомое сечение, найдём его площадь:

Ответ:

Пусть — середина а — середина Тогда площадь сечения равна площади треугольника Найдем последовательно и и — медианы треугольников и соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

Найдем теперь из прямоугольного треугольника В нем катеты равны Гипотенуза по теореме Пифагора, будет равна

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника Для этого проведем высоту которая, по теореме Пифагора, равна и вычислим площадь:

Ответ:

Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),

Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную , и вычислим площадь:

Ответ:

а) Поскольку ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ — правильная шестиугольная призма, то ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда ∠CBA = 120°. По теореме косинусов имеем

Заметим, что A₁A ⊥ (ABC), следовательно, AA₁ ⊥ CA. По теореме Пифагора CA₁ = 14.

Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, DA = 2AB = 10. Тогда По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CA₁D — прямоугольный. Тогда CD ⊥ CA₁. Поскольку С₁D₁||CD, имеем C₁D₁ ⊥ CA₁.

б) Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, AC ⊥ CD, поэтому A₁CA — угол между искомым сечением и плоскостью ABCDEF. Так как A₁A ⊥ CA,

Площадь шестиугольника равна Тогда площадь искомого сечения равна 105.

Ответ: б) 105.

а) Проведём отрезок , параллельный Пусть — точка пересечения отрезков и Треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине Это следует из равенства треугольников и Значит, прямые и перпендикулярны. Прямые и перпендикулярны, так как прямая перпендикулярна плоскости Поэтому прямая перпендикулярна плоскости , и, следовательно, прямая перпендикулярна прямой

б) Указанное сечение — прямоугольник Его площадь равна

Ответ: б)