Пусть точка  — центр куба, а  — середина а  — средняя линия треугольника поэтому Треугольник  — равносторонний, следовательно, искомый угол равен углу

Примем длины ребер куба за Найдем стороны треугольника Из треугольника находим из равностороннего треугольника находим

поскольку  — середина диагонали то Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Ответ:

Пусть точка — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки и совпадают. Угол — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Следовательно, угол между плоскостями равен

Ответ:

Примечание.

Укажем другой путь нахождения угла B₁MC. В прямоугольнике CDA₁B₁ проведём через точку M — середину боковой стороны DA₁ — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:

Вместо плоскости возьмем параллельную ей плоскость Пусть — середина Значит, угол — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника находим

Ответ:

Вместо плоскости возьмем параллельную ей плоскость Пусть — середина Значит, угол — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника находим

Ответ:

Отрезок MK — средняя линия треугольника SAB, следовательно, MK || AB. Значит, через MK можно провести плоскость параллельную плоскости ABC и, так как MK ⊂ CMK, MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC.

Треугольник CMK — равнобедренный. Проведем перпендикуляр CQ к MK, Q — середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на CL — медиане треугольника ABC, P — середина LO. CL ⊥ AB, следовательно, CL ⊥ MK и CQ ⊥ MK. Таким образом, ∠QCP — линейный угол искомого угла.

Далее находим:

Откуда

Поскольку имеем:

Ответ:

Проведем перпендикуляр к так как треугольник — равнобедренный, то — середина Из точки опустим перпендикуляр на плоскость основания. Точка лежит на медиане треугольника Прямая параллельна прямой пересечения плоскостей и и Следовательно, — линейный угол искомого угла между плоскостями.

Далее находим:

Откуда

Ответ:

Проведём из точки перпендикуляр к — середина Точка является серединой высоты Прямая параллельна прямой пересечения плоскостей, Следовательно, — линейный угол искомого угла. Найдём

Значит,

Ответ:

Проведём из точки B перпендикуляр BQ к MK, Q — середина MK. Точка Q является серединой высоты SO. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, QB⊥MK, OB⊥MK. Следовательно, ∠QBO — линейный угол искомого угла. Найдём QO.

Значит,

Ответ:

Построим сечение призмы плоскостью Получим параллелограмм Из точки проведём перпендикуляр к прямой Тогда по теореме о трех перпендикулярах Плоский угол — искомый. следовательно,

Ответ:

Построим сечение призмы плоскостью AC₁B. Получим параллелограмм ABC₁D₁. Из точки D проведём перпендикуляр DH к прямой AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах D₁H ⊥ AB. Плоский угол DHD₁ — искомый. Следовательно,

Ответ:

Пусть точка — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки и совпадают. Угол — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Ответ:

Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна 13.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой Рассмотрим прямоугольный треугольник Его катеты равны Значит,

Ответ:

Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Следовательно, искомый угол равен углу между ребром и прямой

Рассмотрим треугольник Его катеты равны Поэтому

Ответ: 60

Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой Из точки опустим перпендикуляр на прямую тогда отрезок (проекция ), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Точка — середина ребра поэтому

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является высотой и биссектрисой, откуда

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

, тогда

Ответ:

Замечание: Ответ может быть представлен и в другой форме:

Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Точка — середина ребра , поэтому

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является биссектрисой, откуда

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

, тогда

Ответ может быть представлен и в другой форме:

Ответ:

Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой по теореме о трех перпендикулярах. Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Поскольку получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом откуда высота

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

Ответ:

Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

Ответ может быть представлен и в другой форме: или

Ответ:

Пусть — данная пирамида с вершиной — ее высота, — середина , — высота треугольника Угол — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.

Пусть тогда

Найдем площадь треугольника двумя способами: Значит,

Ребро перпендикулярно плоскости поэтому и перпендикулярны, следовательно, плоскость перпендикулярна ребру Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника

Ответ:

Пусть — данная пирамида с вершиной — ее высота, — середина , — высота равнобедренного треугольника а — равного ему треугольника Таким образом, искомый угол Угол — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.

Пусть тогда

Найдем площадь треугольника двумя способами: Значит,

Теперь мы можем найти искомый угол при вершине равнобедренного треугольника

Ответ:

Обозначим середину ребра Так как треугольник равносторонний, а треугольник — равнобедренный, отрезки и перпендикулярны Следовательно, — линейный угол двугранного угла с гранями и Из треугольника найдем В треугольнике найдем высоту

Из треугольника найдем:

Искомый угол равен

Ответ:

Проведем из точки перпендикуляр к — середина MK. Точка Q является серединой высоты Прямая параллельна прямой прямой пересечения плоскостей и Следовательно, — искомый линейный угол. Найдем :

Значит,

Ответ:

Пусть точка  — центр основания, а  — середина ребра Поскольку и плоскость перпендикулярна прямой Это значит, что плоскость и есть плоскость, проходящая через точку перпендикулярно

Проведем отрезки и Так как треугольник правильный, Так как треугольник  — равнобедренный, Следовательно, искомый угол равен углу Найдем стороны треугольника

По теореме косинусов:

Отсюда

Ответ:

Примечание.

Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник — прямоугольный:

Плоскости и имеют общую прямую Проведем перпендикуляр к По теореме о трех перпендикулярах Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и  — это угол Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

В прямоугольных треугольниках и сторона — общая и Значит, эти треугольники равны и Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам. Значит, Пусть — середина Тогда прямая перпендикулярна и поэтому искомый угол между плоскостями равен углу В прямоугольном треугольнике имеем Значит,

Ответ:

Пусть AA₁ — образующая цилиндра, M — середина хорды BC. Тогда

Треугольники ABA₁ и ACA₁ равны по гипотенузе и катету. Значит, BA₁ = A₁C.

В равнобедренных треугольниках BAC и BA₁C медианы AM и A₁M являются высотами. Поэтому искомый угол между плоскостями равен углу ∠AMA₁. В прямоугольном треугольнике AMA₁ имеем:

Ответ:

Пусть L — середина AB. Тогда

Пусть AN и MH — высоты грани AMC. Посчитаем площадь треугольника AMC двумя способами: откуда

Искомый угол между гранями равен углу, противолежащему основанию равнобедренного треугольника ANB. Этот угол равен удвоенному углу ANL. В прямоугольном треугольнике ANL имеем:

Ответ:

а) Обозначим за середину ребра Очевидно, (так как ) Значит, Итак, плоскость содержит прямую, перпендикулярную к плоскости поэтому плоскости перпендикулярны.

б) Обозначим за M середину BC. Поскольку плоскости пересекаются по прямой BC, нас интересует угол между перпендикулярами к BC, проведенными в этих плоскостях. Очевидно (так как ) и по теореме о трех перпендикулярах (проекция на ABC это ) Поэтому

Ответ:

а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам Тогда координаты вершин будут Уравнение прямой тогда имеет вид (последнее означает, что у всех точек на прямой аппликата равна 7.

Уравнение прямой AK тогда имеет вид поэтому перпендикулярная к ней плоскость имеет уравнение причем нужно выбрать чтобы точка B лежала в этой плоскости.

Найдем теперь точку перечения прямой и плоскости Мы знаем, что поэтому поэтому точка лежит между точками и K.

б) Найдем по формуле угол между плоскостью и плоскостью (ABC).

Получим

поэтому и

Ответ: б)

Сразу отметим, что данное в условии расстояние — высота призмы.

а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам Тогда координаты вершин будут Значит, прямая имеет уравнение а перпендикулярная ей плоскость — уравнение Для того, чтобы плоскость проходила через точку нужно взять

Точка, делящая в отношении имеет координаты Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.

б) Уравнение плоскости основания призмы По формуле найдем косинус угла

Ответ:

а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по AB, по прямой, параллельной OM и по прямой, параллельной OS. Тогда координаты точек будут такими где a — высота пирамиды. Найдем ее: откуда

Значит, и Значит, их скалярное произведение равно поэтому

б) Пусть уравнение плоскости MBF это Подставляя туда координаты точек, находим (откуда ) и то есть Пусть Итак, уравнение этой плоскости Найдем по формуле угол между ней и плоскостью (ABC).

Получим

Ответ:

а) Прямая перпендикулярна , поскольку — медиана равностороннего треугольника Кроме того, прямая перпендикулярна , поскольку перпендикулярна плоскости основания Значит, прямая перпендикулярна плоскости , и потому перпендикулярна . Следовательно, треугольник прямоугольный.

б) Так как прямая перпендикулярна прямым и , угол искомый. Имеем

Ответ: б)

а) Плоскость пересекает грани и по параллельным отрезкам. Имеем и Значит, треугольники и подобны, причём прямые и параллельны, прямые и тоже параллельны. Значит, прямая лежит в плоскости

б) Так как прямая перпендикулярна плоскости , опустим перпендикуляр из точки на прямую пересечения этих плоскостей. Угол будет искомым. Найдём Для этого проведём в трапеции высоту ( — середина ). Вычисляя двумя способами площадь треугольника , найдём , то есть Тогда тангенс искомого угла равен 6:

Ответ: б)