СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д6 C2 № 484570

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) До­ка­жи­те, что .

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой BD1.


Аналоги к заданию № 484570: 507651 Все

Решение · ·

2
Задания Д6 C2 № 484573

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да DABC с вер­ши­ной D. Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно вы­со­та равна

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер BD, AC и AD, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра BD до пря­мой MT, где точки M и T — се­ре­ди­ны ребер AC и AD со­от­вет­ствен­но.


Аналоги к заданию № 484573: 484574 511291 511292 Все

Решение · ·

3
Задания Д6 C2 № 507651

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что расстояние от точки до плоскости меньше, чем расстояние от точки до прямой .

б) Найдите расстояние от точки C до прямой AD1


4
Задания Д6 C2 № 507458

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у которого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от центра грани A1B1C1D1 до плоскости BDC1.


Аналоги к заданию № 507458: 507690 Все


5
Задания Д6 C2 № 507690

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки , и середину ребра , перпендикулярна плоскости .

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.


6
Задания Д6 C2 № 507490

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ,


7
Задания Д6 C2 № 507666

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, T — середина ребра AD.

а) Докажите, что объем пирамиды в 12 раз меньше объема куба.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD.


8
Задания Д6 C2 № 507645

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1.

а) Докажите, что точки и равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.


9
Задания Д6 C2 № 507502

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной высота призмы равна

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M — середина ребра A1C1, является прямоугольной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.


Аналоги к заданию № 507502: 511437 Все


10
Задания Д6 C2 № 507681

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL1M1N1 равно её высоте и равно

а) Докажите, что сечение призмы, проходящее через и точку — середину ребра, является прямоугольным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки L1 до плоскости LM1T.


Аналоги к заданию № 507681: 511470 Все


11
Задания Д6 C2 № 500007

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна а угол ACB равен 120°.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от точки A до прямой B1C1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Решение · ·

12
Задания Д6 C2 № 507763

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.


Аналоги к заданию № 507763: 507766 511484 Все

Решение · ·

13
Задания Д6 C2 № 507766

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SF.


14
Задания Д6 C2 № 507769

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.

а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.

б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

Решение · ·

15
Задания Д6 C2 № 507775

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно

а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.


16
Задания Д6 C2 № 507778

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1.

а) Докажите, что плоскости и B равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.


Аналоги к заданию № 507778: 507785 511491 Все


17
Задания Д6 C2 № 507785

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2.

а) Докажите, что точки A и равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.


18
Задания Д6 C2 № 507794

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1.

а) − высота треугольника . Докажите, что угол − прямой.

б) Найдите высоту призмы.


Аналоги к заданию № 507794: 507800 511494 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Прямая треугольная призма, Расстояние между прямыми

19
Задания Д6 C2 № 507800

Основанием прямой призмы MNKM1N1K1 является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M1N составляют угол 30° с плоскостью MM1K1.

а) − высота треугольника . Докажите, что

б) Найдите высоту призмы.


20
Задания Д6 C2 № 507816

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра ко­то­рой равны 1.

а) До­ка­жи­те, что .

б) Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB1 и BC1.

Решение · ·

21
Задания Д6 C2 № 484571

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка и вершину .

б) Найдите это расстояние.

Решение · ·

22
Задания Д6 C2 № 504830

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.

а) Докажите, что треугольник , где и AD − хорда основания, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.


Аналоги к заданию № 504830: 504851 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 1.
Решение · ·

23
Задания Д6 C2 № 504851

Отрезок KM ― диаметр основания конуса, отрезок AK ― образующая этого конуса, которая в 3 раза больше радиуса его основания. Хорда основания ML составляет с прямой KM угол 45°. Через AK проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ML.

а) Докажите, что треугольник AKN, где KN - хорда основания, параллельная ML, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Решение · ·

24
Задания Д6 C2 № 485988

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Бо­ко­вое ребро сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 2.

а) До­ка­жи­те, что точки B и S рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ADM, где M — се­ре­ди­на ребра SC.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти ADM.


Аналоги к заданию № 485988: 485992 511329 Все


25
Задания Д6 C2 № 485992

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2.

а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости ADM.

Решение · ·

26
Задания Д6 C2 № 504241

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны Тангенс угла между прямыми DM и AL равен , L — середина ребра MB.

а) Докажите, что плоскости AOL и MDB перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.


Аналоги к заданию № 504241: 504262 510363 511386 Все

Раздел: Стереометрия
Решение · ·

27
Задания Д6 C2 № 501396

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15.

а) Докажите, что расстояние от вершины до прямой больше, чем расстояние от вершины A1 до прямой BD1

б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.


Аналоги к заданию № 501396: 501416 511359 Все

Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

28
Задания Д6 C2 № 501416

Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9.

а) Докажите, что расстояние от вершины до прямой больше, чем расстояние от вершины до прямой .

б) Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.

Решение · ·

29
Задания Д6 C2 № 505153

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.


Аналоги к заданию № 505153: 505174 511397 Все


30
Задания Д6 C2 № 500448

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.


31
Задания Д6 C2 № 484575

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые ребра равны 4.

а) До­ка­жи­те, что плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до пря­мой D1E1.


32
Задания Д6 C2 № 484566

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра равны 1.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой .

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой E1F1.


Аналоги к заданию № 484566: 484575 500448 507816 484576 485941 485955 500013 500019 500468 507822 Все

Решение · ·

33
Задания Д6 C2 № 484574

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна

а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра и точки М и Т (середины ребер АС и соответственно), является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.

Решение · ·

34
Задания Д6 C2 № 484572

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равно вы­со­та —

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ну ребра AD и точки M и T — се­ре­ди­ны ребер CS и ВС со­от­вет­ствен­но, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра AD до пря­мой MT.


35
Задания Д6 C2 № 500001

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 яв­ля­ет­ся ромб ABCD, сто­ро­на ко­то­ро­го равна а угол ВАD равен 60°.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой C1D1, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро дан­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно 8.


Аналоги к заданию № 500001: 500007 Все


36
Задания Д6 C2 № 505174

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.

а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.


37
Задания Д6 C2 № 505524

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.

а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.


Аналоги к заданию № 505524: 507645 Все


38
Задания Д6 C2 № 485966

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна Точка M — середина ребра AA1.

а) Докажите, что пирамиды и равновелики.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.


39
Задания Д6 C2 № 527357

В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, угол между ребром DC и гранью ABC равен

а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.

б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 254.

40
Задания Д6 C2 № 527847

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 1, высота SO = 2, точка M — середина ребра BS.

а) Докажите, что AM параллельна FN, где N — середина ребра SE.

б) Найдите расстояние от точки E до прямой AM.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 282.

Пройти тестирование по этим заданиям