РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Тригонометрические функции

1.  Тип Д10 № 564531 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.3.5 Тригонометрические функции, их графики.

Графики функций. Тригонометрические функции

На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус левая круглая скобка b Пи x плюс c правая круглая скобка плюс d,$ где числа a, b, c и d  — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 100, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. Из графика видно, что $f_max=1,$ $f_min= минус 3,$ тогда:

$d= дробь: числитель: f_max плюс f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус 3, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1,$

$|a|= дробь: числитель: f_max минус f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =2.$

Далее, из графика получаем, что $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,$ тогда, если $a= минус 2,$ то $минус 2 косинус c минус 1=1,$ откуда $косинус c= минус 1.$ Полученное уравнение не имеет целочисленных решений. Если же $a=2,$ то

$2 косинус c минус 1=1 равносильно косинус c=1 равносильно c=2 Пи k, k принадлежит Z \undersetc принадлежит Z \mathop равносильно c=0.$ $2 косинус c минус 1=1 равносильно косинус c=1 равносильно$
$равносильно c=2 Пи k, k принадлежит Z \undersetc принадлежит Z \mathop равносильно c=0.$

Значит, $a=2$ и $c=0,$ откуда $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1.$

Наименьший положительный период этой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1$ равен $дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби |b|,$ а по графику наименьший положительный период равен 2, следовательно, $b= \pm 1.$ Таким образом,

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка \pm Пи x правая круглая скобка минус 1=2 косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка минус 1.$

Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 100, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка :$

$f левая круглая скобка дробь: числитель: 100}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 00 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1=$
$=2 косинус левая круглая скобка 32 Пи плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1=2 косинус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1= минус 2.$ $f левая круглая скобка дробь: числитель: 100}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 00 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1=$
$=2 косинус левая круглая скобка 32 Пи плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1=$
$=2 косинус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1= минус 2.$

Ответ: −2.

Приведем другое решение.

Сравним данный в условии график с графиком функции $y= косинус x.$ Точка $x=0$ по-прежнему точка максимума, поэтому $c=0$ и $a больше 0.$ График сдвинут на одну единицу вниз, значит, $d= минус 1.$ Амплитуда графика (разность между наибольшим и наименьшим значением) увеличилась в 2 раза и a>0, следовательно, $a=2.$ Тем самым

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1.$

Из условия $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 3$ получаем $косинус левая круглая скобка Пи b правая круглая скобка = минус 1,$ откуда $b=1.$ Окончательно,

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка минус 1.$

Осталось найти

Ответ: -2

564531

-2

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.1.5 Преобразования графиков;

3.2.3 Периодичность функции;

3.3.5 Тригонометрические функции, их графики.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	564531	-2