Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Каталог заданий

1. Тип 12 № 513683

а) Решите уравнение $синус x(2 синус x минус 3\ctg x)=3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а) Последовательно получаем:

$синус x(2 синус x минус 3\ctg x)=3 равносильно система выражений 2 синус в квадрате x минус 3 косинус x минус 3=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 3 косинус x плюс 1=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус 1, конец системы . синус x не равно 0 конец совокупности . равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

б) В силу цепочки соотношений $минус 3 Пи = минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 16 Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ условию $x принадлежит левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ удовлетворяет только одно решение уравнения — число $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $\left\ дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальный балл 2

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

513683

а) $\left\ дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513683	а) $\left\ дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$