Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Каталог заданий

Тип 12 № 502094 Добавить в вариант

а) Решите уравнение $9 в степени ( \textstyle x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) минус 8 умножить на 3 в степени (x минус 1) плюс 5=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение.

а) Заметим, что $9 в степени ( \textstyle (x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) ) = 9 в степени ( \textstyle (x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) ) =9 в степени ( \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) умножить на 9 в степени ((x минус 1)) =3 умножить на 9 в степени ((x минус 1)) ,$ преобразуем исходное уравнение:

$9 в степени ( \textstyle x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) минус 8 умножить на 3 в степени (x минус 1) плюс 5=0 равносильно 3 умножить на 9 в степени (x минус 1) минус 8 умножить на 3 в степени (x минус 1) плюс 5 = 0.$

Пусть $t = 3 в степени (x минус 1) ,$ тогда уравнение запишется в виде $3t в квадрате минус 8t плюс 5 = 0,$ откуда $t = 1$ или $t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

При $t = 1$ получим: $3 в степени (x минус 1) =1$ откуда $x = 1.$

При $t = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ получим: $3 в степени (x минус 1) = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ откуда $x = логарифм по основанию 3 5.$

б) Корень $x = 1$ не принадлежит промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Поскольку $1 меньше логарифм по основанию 3 5$ и $логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 9 = 2 меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,$ корень $x = логарифм по основанию 3 5$ принадлежит промежутку $левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: а) $1, логарифм по основанию 3 5;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

502094

а) $1, логарифм по основанию 3 5;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 502, Задания 13 (С1) ЕГЭ 2013

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	502094	а) $1, логарифм по основанию 3 5;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$