PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
Решение. а) Прямая ML параллельна прямой AC, поскольку содержит среднюю линию треугольника ABC (см. рис.). Следовательно,
Таким образом,
то есть точки A, B, C и L лежат на окружности с центром в точке M. Получаем:
а значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.
б) Углы ALB и ACB опираются на одну дугу, значит, 
Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен
По условию 
откуда
Значит, 
и площади треугольников AML и BLC относятся 
Ответ: б) 25 : 36.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
откуда
и площади треугольников AML и BLC относятся 