Ре­ше­ние. а)  Пусть тре­уголь­ник МАВ  — ис­ко­мое се­че­ние, пер­пен­ди­ку­ляр­ное об­ра­зу­ю­щей МК, и пусть Т  — точка его пе­ре­се­че­ния с диа­мет­ром, про­хо­дя­щим через точку К. В тре­уголь­ни­ке МТК угол К равен 30°. Сле­до­ва­тель­но,

В тре­уголь­ни­ке МТВ об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са

Сле­до­ва­тель­но,

б)  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MBA равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть се­че­ние MRS пер­пен­ди­ку­ляр­но об­ра­зу­ю­щей MK, при этом KL  — диа­метр. Пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MRS, по­это­му пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS, и, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая  KL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS. Назовём N точку их пе­ре­се­че­ния. За­ме­тим, что угол  KMO равен 60°, угол MKO равен 30°, тогда KO  =  9, ON  =  3, Таким об­ра­зом, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке MRS вы­со­та сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

б)  Из цен­тра ос­но­ва­ния O опу­стим на MN пер­пен­ди­ку­ляр OH. За­ме­тим, что OH лежит в плос­ко­сти  KMN. Из п. а сле­ду­ет, что пря­мая  RS пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  KMN, сле­до­ва­тель­но, пря­мая  OH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  RS. Таким об­ра­зом, OH  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Имеем:

Ответ: б)