Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой четырёх слу­чай­ных ве­ли­чин «число брос­ков до вы­па­де­ния числа из на­бо­ра 1, 2, 3 и 4, ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее». Ве­ро­ят­ность успе­ха для пер­вой такой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны  — вто­рой  — (одно число уже вы­па­да­ло ранее, по­это­му бла­го­при­ят­ству­ют толь­ко 3 грани из 6), для тре­тьей  — а для по­след­ней  — Ма­те­ма­ти­че­ские ожи­да­ния со­от­вет­ствен­но равны Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно

Ответ: 12,5.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: пер­вое число из на­бо­ра 1, 2, 3 и 4 вы­па­да­ет в сред­нем в двух брос­ках из трех или в одном из по­лу­то­ра, по­это­му в сред­нем до пер­во­го та­ко­го числа по­тре­бу­ет­ся 1,5 брос­ка. Одно из остав­ших­ся трех чисел вы­па­да­ет в сред­нем в одном брос­ке из двух, по­это­му до оче­ред­но­го числа (ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее) по­тре­бу­ет­ся в сред­нем два брос­ка, и так далее. Для по­лу­че­ния од­но­го из двух остав­ших­ся чисел по­тре­бу­ет­ся в сред­нем ещё три брос­ка, а для по­след­не­го  — 6 брос­ков.

Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой четырёх слу­чай­ных ве­ли­чин «число брос­ков до вы­па­де­ния числа из на­бо­ра 1, 2 и 3, ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее». Ве­ро­ят­ность успе­ха для пер­вой такой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны  — вто­рой  — (одно число уже вы­па­да­ло ранее, по­это­му бла­го­при­ят­ству­ют толь­ко 2 грани из 6), для тре­тьей  — Ма­те­ма­ти­че­ские ожи­да­ния со­от­вет­ствен­но равны Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно

Ответ: 11.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: пер­вое число из на­бо­ра 1, 2 и 3 вы­па­да­ет в сред­нем в одном брос­ке из двух, по­это­му в сред­нем до пер­во­го та­ко­го числа по­тре­бу­ет­ся два брос­ка. Одно из остав­ших­ся трех чисел вы­па­да­ет в сред­нем в одном брос­ке из трех, по­это­му до оче­ред­но­го числа (ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее) по­тре­бу­ет­ся в сред­нем ещё два брос­ка. По­след­нее число из на­бо­ра вы­па­да­ет в сред­нем в одном брос­ке из шести, по­это­му в сред­нем по­тре­бу­ет­ся ещё 6 брос­ков.

Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой шести слу­чай­ных ве­ли­чин «число брос­ков до вы­па­де­ния числа, ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее». Ве­ро­ят­ность успе­ха для пер­вой такой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны  — вто­рой  — (одно число уже вы­па­да­ло ранее, по­это­му бла­го­при­ят­ству­ют толь­ко 5 гра­ней из 6), для тре­тьей  — и так далее, для по­след­ней  — Ма­те­ма­ти­че­ские ожи­да­ния со­от­вет­ствен­но равны 1, Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно

Ответ: 14,7.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: на пер­вом брос­ке в любом слу­чае вы­па­дет какое-то число, ко­то­рое не вы­па­да­ло ранее. Те­перь числа, ко­то­рые не вы­па­да­ли ранее вы­па­да­ют в сред­нем в 5 брос­ках из шести или в одном из 1,2, по­это­му в сред­нем до оче­ред­но­го «но­во­го» числа по­тре­бу­ет­ся ещё 1,2 брос­ка. Сле­ду­ю­щее «новое» число вы­па­да­ет в сред­нем в двух брос­ках из трех или в одном из 1,5, по­это­му до его по­яв­ле­ния в сред­нем по­тре­бу­ет­ся ещё 1,5 брос­ка. Одно из трех чисел, ко­то­рые еще не вы­па­да­ли, вы­па­да­ет в сред­нем в одном брос­ке из 2, по­это­му в сред­нем по­тре­бу­ет­ся ещё 2 брос­ка. Ана­ло­гич­но, для по­лу­че­ния од­но­го из двух остав­ших­ся чисел по­тре­бу­ет­ся в сред­нем ещё 3 брос­ка, а для по­след­не­го  — 6 брос­ков.