Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число сде­лан­ных брос­ков до пер­вой ше­стер­ки» и «число сде­лан­ных брос­ков от пер­вой до вто­рой ше­стер­ки». Ше­стер­ка вы­па­да­ет с ве­ро­ят­но­стью по­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно 6. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 12.

Ответ: 12.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: ше­стер­ка вы­па­да­ет в сред­нем один раз из шести брос­ков, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­вой ше­стер­ки по­тре­бу­ет­ся 6 брос­ков, а после этого еще столь­ко же до по­яв­ле­ния вто­рой ше­стер­ки.

Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число сде­лан­ных брос­ков до пер­во­го чет­но­го числа» и «число сде­лан­ных брос­ков от пер­во­го до вто­ро­го чет­но­го числа». Чет­ное число вы­па­да­ет с ве­ро­ят­но­стью по­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно 2. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 4.

Ответ: 4.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: чет­ное число вы­па­да­ет в сред­нем один раз из двух брос­ков, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­во­го чет­но­го числа по­тре­бу­ет­ся два брос­ка, а после этого еще столь­ко же до по­яв­ле­ния вто­ро­го чет­но­го числа.

Ре­ше­ние. Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число сде­лан­ных брос­ков до пер­вой ше­стер­ки», «число сде­лан­ных брос­ков от пер­вой до вто­рой ше­стер­ки» и «число сде­лан­ных брос­ков от вто­рой до тре­тьей ше­стер­ки». Ше­стер­ка вы­па­да­ет с ве­ро­ят­но­стью по­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих трех слу­чай­ных ве­ли­чин равно 6. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 18.

Ответ: 18.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: ше­стер­ка вы­па­да­ет в сред­нем 1 раз из шести брос­ков, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­вой ше­стер­ки по­тре­бу­ет­ся 6 брос­ков, а после этого еще столь­ко же до по­яв­ле­ния вто­рой ше­стер­ки, и еще столь­ко же  — до тре­тьей.