Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность каж­до­го ис­хо­да (по­сле­до­ва­тель­ность вы­па­де­ния орлов и решек) в опи­сан­ном экс­пе­ри­мен­те со­став­ля­ет Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, со­от­вет­ству­ю­щих со­бы­тию «Вы­па­ло ровно k орлов», равно а ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия, равна

Тогда ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние E ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов (X) равно

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Ответ: 3.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В нашем слу­чае ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла для каж­до­го бро­са­ния равна 0,5. По­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов при 6 бро­са­ни­ях равно 6 · 0,5  =  3.

При­ме­ча­ние.

Под­хо­ды к ре­ше­нию задач этого типа по­дроб­но разо­бра­ны нами на при­ме­ре за­да­чи 509400.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность каж­до­го ис­хо­да (по­сле­до­ва­тель­ность вы­па­де­ния орлов и решек) в опи­сан­ном экс­пе­ри­мен­те со­став­ля­ет Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, со­от­вет­ству­ю­щих со­бы­тию "Вы­па­ло ровно k орлов", равно а ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия, равна

Тогда ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние E ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов (X) равно

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

В ре­ше­нии выше фак­ти­че­ски вы­ве­де­на фор­му­ла Бер­нул­ли. Чи­та­тель, зна­ко­мый с этим ма­те­ри­а­лом, мог бы сразу по­стро­ить рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов. По­ка­жем, как это сде­лать.

Орел может не вы­пасть или вы­пасть от 1 до 8 раз, а ве­ро­ят­ность каж­до­го из этих со­бы­тий опре­де­ля­ют­ся по фор­му­ле Бер­нул­ли. На­пом­ним ее: если ве­ро­ят­ность на­ступ­ле­ния не­ко­то­ро­го со­бы­тия в каж­дом ис­пы­та­нии равна p, то ве­ро­ят­ность того, что при n не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях дан­ное со­бы­тие на­сту­пит ровно k раз, равна Для сим­мет­рич­ной мо­не­ты ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла при од­но­крат­ном ис­пы­та­нии по­это­му ве­ро­ят­ность, что при 8 бро­са­ни­ях орел вы­па­дет ровно k раз равна

По­лу­ча­ем рас­пре­де­ле­ние:

Ко­ли­че­ство вы­пав­ших орлов, xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Ве­ро­ят­ность со­бы­тия, p(xi)

По по­стро­ен­но­му рас­пре­де­ле­нию на­хо­дим ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние E ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов X:

При­ве­дем еще три спо­со­ба ре­ше­ния (Дмит­рий Гущин, Санкт-Пе­тер­бург).

1.  Чи­та­тель, зна­ко­мый с ме­ха­ни­че­ским смыс­лом ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния, сразу вспом­нит, что ма­то­жи­да­ние дис­крет­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны чис­лен­но сов­па­да­ет с абс­цис­сой цен­тра тя­же­сти еди­нич­ной массы, рас­пре­де­лен­ной в точ­ках x_i в ко­ли­че­ствах p(x_i). При по­мо­щи этой ана­ло­гии, по­стро­ив рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны, ма­то­жи­да­ние можно по­лу­чить без вы­чис­ле­ний: слу­чай­ная ве­ли­чи­на при­ни­ма­ет по­сле­до­ва­тель­ные зна­че­ния от 0 до 8, а по­это­му центр масс на­хо­дит­ся в точке 4, что и равно ма­то­жи­да­нию.

2.  Чи­та­тель, зна­ю­щий, что по­ни­ма­ет­ся под сум­мой дис­крет­ных слу­чай­ных ве­ли­чин, мог бы вос­поль­зо­вать­ся тем, что ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние суммы двух слу­чай­ных (за­ви­си­мых или не­за­ви­си­мых) ве­ли­чин равно сумме их ма­те­ма­ти­че­ских ожи­да­ний: Если взять за Х ко­ли­че­ство вы­пав­ших орлов, а за Y  — ко­ли­че­ство вы­пав­ших решек, то, по­сколь­ку де­ла­ет­ся во­семь бро­са­ний, по­лу­ча­ем: Тогда из сим­мет­рич­но­сти мо­нет­ки сле­ду­ет, что От­ме­тим, что при­ве­ден­ное свой­ство ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния вовсе не оче­вид­но, а его до­ка­за­тель­ство тре­бу­ет не­ко­то­рой ра­бо­ты.

3.  Чи­та­тель, изу­чав­ший в вузе ста­ти­сти­ку, знает сле­ду­ю­щую тео­ре­му:

В нашем слу­чае ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла для каж­до­го бро­са­ния равна 0,5. По­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов при 8 бро­са­ни­ях равно 8 · 0,5  =  4. Ве­ро­ят­но, имен­но так сле­ду­ет ре­шать эту за­да­чу на эк­за­ме­не.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла для каж­до­го бро­са­ния равна 0,5. По­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов при 10 бро­са­ни­ях равно 10 · 0,5  =  5.

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

Под­хо­ды к ре­ше­нию задач этого типа по­дроб­но разо­бра­ны нами на при­ме­ре про­то­ти­па 509400.

Ре­ше­ние. В нашем слу­чае ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла для каж­до­го бро­са­ния равна 0,5. По­это­му ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ко­ли­че­ства вы­пав­ших орлов при 11 бро­са­ни­ях равно 11 · 0,5  =  5,5.

Ответ: 5,5.

При­ме­ча­ние.

Под­хо­ды к ре­ше­нию задач этого типа по­дроб­но разо­бра­ны нами на при­ме­ре про­то­ти­па 509400.