РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 508505 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $\dfrac8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени x 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства на положительное выражение $2 в степени x ,$ затем умножим обе части неравенства на положительное выражение $4 в степени x ,$ получим:

$\dfrac4 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 51 минус 16 умножить на 4 в степени x больше или равно 0 равносильно \dfrac1 минус 5 умножить на 4 в степени x 1 минус 16 умножить на 4 в степени x больше или равно 0 равносильно совокупность выражений 4 в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16, 4 в степени x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . \underset 4 больше 1 \mathop равносильно совокупность выражений x меньше минус 2, x больше или равно логарифм по основанию целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 5 . конец совокупности .$

Приведём другое решение.

Сделаем замену $y=2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка ,$ получим:

$дробь: числитель: y в кубе минус 5y, знаменатель: y минус \dfrac16y конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений y не равно 0, дробь: числитель: y в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате минус 16 конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 5, знаменатель: y в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 16 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений y меньше минус 4, минус корень из 5 меньше или равно y меньше 0 , 0 меньше y меньше или равно корень из 5 , y больше 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: y в кубе минус 5y, знаменатель: y минус \dfrac16y конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений y не равно 0, дробь: числитель: y в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате минус 16 конец дроби больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 5, знаменатель: y в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 16 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений y меньше минус 4, минус корень из 5 меньше или равно y меньше 0 , 0 меньше y меньше или равно корень из 5 , y больше 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше минус 4, минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше 0 , 0 меньше 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус x меньше или равно логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , минус x больше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, x меньше минус 2. конец совокупности .$ $совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше минус 4, минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше 0 , 0 меньше 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус x меньше или равно логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , минус x больше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, x меньше минус 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус логарифм по основанию 4 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

508505

$левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус логарифм по основанию 4 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

2.  Тип 15 № 508507 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: 8 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=2 в степени x , y больше 0.$

$система выражений новая строка \dfracy в кубе минус 5yy минус \dfrac16y больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfracy в степени 4 минус 5y в квадрате y в квадрате минус 16 больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше y меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка y больше 4. конец совокупности .$ $система выражений новая строка \dfracy в кубе минус 5yy минус \dfrac16y больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка \dfracy в степени 4 минус 5y в квадрате y в квадрате минус 16 больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка y больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка 0 меньше y меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка y больше 4. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получим: $x меньше или равно логарифм по основанию 4 5$ или $x больше 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508507

$левая круглая скобка минус бесконечность ; логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508505	$левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус логарифм по основанию 4 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$
2	508507	$левая круглая скобка минус бесконечность ; логарифм по основанию 4 5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$