а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с углом бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 

а)  До­ка­жи­те, что грани ASC и BSC на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

б)  Най­ди­те дву­гран­ный угол между гра­ня­ми ASB и ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Для за­щи­ты не­ка­сто­ди­аль­но­го ап­па­рат­но­го ко­шель­ка от элек­тро­маг­нит­ных атак по сто­рон­ним ка­на­лам (side-channel attacks) при­ме­ня­ет­ся спе­ци­аль­ный ко­ле­ба­тель­ный кон­тур. Ам­пли­ту­да на­ве­ден­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре за­щи­ты при воз­дей­ствии внеш­не­го поля за­ви­сит от ча­сто­ты этого поля ω (в Мгц) по за­ко­ну:

Из­вест­но, что ба­зо­вая ре­зо­нанс­ная ча­сто­та кон­ту­ра ω₀  =  5 Мгц, а ко­эф­фи­ци­ент за­ту­ха­ния γ  =  2 Мгц. При какой ча­сто­те внеш­не­го поля ω ам­пли­ту­да на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре будет мак­си­маль­ной?

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы углов BAC и ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точ­ках L и D со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что угол BAC в два раза боль­ше угла BCA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CO и LD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те в каком от­но­ше­нии пря­мая LD делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

При по­стро­е­нии де­ре­ва де­ри­ва­ции клю­чей для Bitcoin-ко­шель­ка ал­го­ритм ис­поль­зу­ет ге­не­ра­цию по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел a_n. Из­вест­но, что a₁  =  3, a₂  =  5, и для лю­бо­го вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние

а)  Может ли число 100 500 быть чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, если A  =  11?

б)  Может ли при A  =  26 зна­че­ние вы­ра­же­ния быть квад­ра­том це­ло­го числа?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра при ко­то­рых все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти  — целые числа, а сумма пер­вых че­ты­рех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том це­ло­го числа.